Решение задачи: Нахождение параметра a из предела lim(tg(ax)/8x) = 2

Решим задачу по нахождению параметра \( a \). Задача: Найти \( a \), если \[ \lim_{n \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{8x} = 2 \] Решение: Это предел, который можно решить с использованием первого замечательного предела. Первый замечательный предел гласит: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] Или, в более общем виде, для тангенса: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1 \] Или, если \( k \) - константа: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} kx}{kx} = 1 \] В нашей задаче у нас есть \( \operatorname{tg} ax \) в числителе. Чтобы применить замечательный предел, нам нужно, чтобы в знаменателе было \( ax \). Преобразуем выражение: \[ \lim_{n \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{8x} = \lim_{n \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{ax} \cdot \frac{ax}{8x} \] Здесь мы умножили и разделили на \( ax \). Теперь мы можем разбить предел на произведение двух пределов (если они существуют): \[ = \left( \lim_{n \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{ax} \right) \cdot \left( \lim_{n \to 0} \frac{ax}{8x} \right) \] Рассмотрим первый предел: \[ \lim_{n \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{ax} \] Поскольку \( n \to 0 \), то \( x \to 0 \), и \( ax \to 0 \). Используя первый замечательный предел, получаем: \[ \lim_{n \to 0} \frac{\operatorname{tg} ax}{ax} = 1 \] Рассмотрим второй предел: \[ \lim_{n \to 0} \frac{ax}{8x} \] Здесь \( x \) не равно 0, так как мы стремимся к 0, но не достигаем его. Поэтому мы можем сократить \( x \): \[ \lim_{n \to 0} \frac{a}{8} = \frac{a}{8} \] Теперь подставим эти значения обратно в исходное уравнение: \[ 1 \cdot \frac{a}{8} = 2 \] \[ \frac{a}{8} = 2 \] Чтобы найти \( a \), умножим обе части уравнения на 8: \( a = 2 \cdot 8 \) \( a = 16 \) Итак, значение \( a \) равно 16. Ответ: 16