Решение задачи: Найти подобные треугольники

4. Найди подобные треугольники.

Для определения подобных треугольников будем использовать признаки подобия:

• I признак (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• II признак (по двум сторонам и углу между ними): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
• III признак (по трем сторонам): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Давайте проанализируем каждый треугольник:

• Треугольник 1: Углы: \(70^\circ\), \(30^\circ\). Третий угол: \(180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ\). Стороны: 6 см, 16 см.
• Треугольник 2: Углы: \(30^\circ\). Стороны: 1 см, 8 см, 3 см.
• Треугольник 3: Углы: \(80^\circ\), \(30^\circ\). Третий угол: \(180^\circ - 80^\circ - 30^\circ = 70^\circ\). Стороны: 1 см.
• Треугольник 4: Углы: \(30^\circ\). Стороны: 3 см, 8 см.
• Треугольник 5: Стороны: 6 см, 14 см, 16 см.
• Треугольник 6: Углы: \(30^\circ\). Стороны: 6 см, 16 см.
• Треугольник 7: Углы: \(70^\circ\), \(20^\circ\). Третий угол: \(180^\circ - 70^\circ - 20^\circ = 90^\circ\).
• Треугольник 8: Углы: \(70^\circ\), \(30^\circ\). Третий угол: \(180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ\).
• Треугольник 9: Стороны: 9 см, 16 см, 21 см.

Теперь сравним их:

Подобие по I признаку (по двум углам):

• Треугольник 1 (углы \(70^\circ, 30^\circ, 80^\circ\)) и Треугольник 8 (углы \(70^\circ, 30^\circ, 80^\circ\)).
  Треугольник 1 и 8 подобны по I признаку.
• Треугольник 3 (углы \(80^\circ, 30^\circ, 70^\circ\)) и Треугольник 1 (углы \(70^\circ, 30^\circ, 80^\circ\)).
  Треугольник 3 и 1 подобны по I признаку.
• Треугольник 3 (углы \(80^\circ, 30^\circ, 70^\circ\)) и Треугольник 8 (углы \(70^\circ, 30^\circ, 80^\circ\)).
  Треугольник 3 и 8 подобны по I признаку.

Подобие по II признаку (по двум сторонам и углу между ними):

• Рассмотрим Треугольник 1 (стороны 6 см, 16 см, угол \(30^\circ\)) и Треугольник 6 (стороны 6 см, 16 см, угол \(30^\circ\)).
  У них равны две стороны и угол между ними.
  Треугольник 1 и 6 подобны по II признаку.

Подобие по III признаку (по трем сторонам):

• Рассмотрим Треугольник 5 (стороны 6 см, 14 см, 16 см) и Треугольник 9 (стороны 9 см, 16 см, 21 см).
  Проверим пропорциональность сторон:
  \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
  \(\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\)
  \(\frac{16}{?} \) - здесь нет стороны 16 см в треугольнике 9, которая бы соответствовала 16 см в треугольнике 5 с коэффициентом 2/3.
  Давайте перепроверим. Стороны треугольника 5: 6, 14, 16. Стороны треугольника 9: 9, 16, 21.
  Если упорядочить стороны:
  Треугольник 5: 6, 14, 16
  Треугольник 9: 9, 16, 21
  Проверим отношения:
  \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
  \(\frac{14}{21} = \frac{2}{3}\)
  \(\frac{16}{?} \) - здесь нет подходящей стороны.
  Значит, Треугольник 5 и 9 не подобны по III признаку.

Ответ:

Треугольник 1 и 8 подобны по I признаку.

Треугольник 1 и 3 подобны по I признаку.

Треугольник 3 и 8 подобны по I признаку.

Треугольник 1 и 6 подобны по II признаку.

---

5. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁: \(\angle A = 45^\circ\), \(\angle B = 70^\circ\), \(\angle A_1 = 45^\circ\), \(\angle C_1 = 65^\circ\). Подобны ли треугольники?

Для определения подобия по I признаку (по двум углам) нам нужно найти все углы в каждом треугольнике.

Для треугольника ABC:

\(\angle A = 45^\circ\)

\(\angle B = 70^\circ\)

\(\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ\)

Углы треугольника ABC: \(45^\circ, 70^\circ, 65^\circ\).

Для треугольника A₁B₁C₁:

\(\angle A_1 = 45^\circ\)

\(\angle C_1 = 65^\circ\)

\(\angle B_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle C_1 = 180^\circ - 45^\circ - 65^\circ = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

Углы треугольника A₁B₁C₁: \(45^\circ, 70^\circ, 65^\circ\).

Сравнивая углы, мы видим, что \(\angle A = \angle A_1 = 45^\circ\), \(\angle B = \angle B_1 = 70^\circ\), \(\angle C = \angle C_1 = 65^\circ\). Так как все углы одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то эти треугольники подобны по I признаку подобия (по двум углам, так как если два угла равны, то и третий будет равен).

Ответ: Треугольники подобны.

---

6. Стороны одного треугольника равны 4 см, 6 см, 8 см. Стороны второго треугольника равны 10 см, 15 см, 20 см. Подобны ли треугольники?

Для определения подобия по III признаку (по трем сторонам) нам нужно проверить, пропорциональны ли стороны этих треугольников.

Пусть стороны первого треугольника будут \(a_1 = 4\) см, \(b_1 = 6\) см, \(c_1 = 8\) см.

Пусть стороны второго треугольника будут \(a_2 = 10\) см, \(b_2 = 15\) см, \(c_2 = 20\) см.

Чтобы проверить пропорциональность, мы должны составить отношения соответствующих сторон (от меньшей к меньшей, от средней к средней, от большей к большей):

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)

\(\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)

\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\)

Так как отношения всех соответствующих сторон равны (коэффициент подобия \(k = \frac{2}{5}\)), то треугольники подобны по III признаку подобия.

Ответ: Треугольники подобны.

---

7. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка M так, что AM : MC = 2 : 3. Параллельно стороне AB проведена прямая MN (N \(\in\) BC). Найди MN, если AB = 15 см.

Дано:
Треугольник ABC.
Точка M на стороне AC.
AM : MC = 2 : 3.
MN || AB (MN параллельна AB).
N \(\in\) BC.
AB = 15 см.

Найти: MN.

Решение:

1. Так как прямая MN параллельна стороне AB, то по теореме о пропорциональных отрезках (или по свойству подобных треугольников), треугольник MNC подобен треугольнику ABC.

2. Из подобия треугольников MNC и ABC следует, что отношения соответствующих сторон равны.
То есть, \(\frac{MN}{AB} = \frac{MC}{AC}\).

3. Нам дано отношение AM : MC = 2 : 3.
Это означает, что если AM = 2x, то MC = 3x.
Тогда вся сторона AC = AM + MC = 2x + 3x = 5x.

4. Теперь мы можем найти отношение \(\frac{MC}{AC}\):
\(\frac{MC}{AC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\).

5. Подставим это отношение и известное значение AB в формулу из пункта 2:
\(\frac{MN}{15} = \frac{3}{5}\).

6. Чтобы найти MN, умножим обе части уравнения на 15:
\(MN = \frac{3}{5} \times 15\)

Ответ: MN = 9 см.

---

Насколько ты заряжен знаниями по данной теме?

Закрась заряд батареи.

Я бы закрасил все 5 делений, так как я смог решить все задачи и объяснить их подробно.