Решение задачи 3.097: DM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD

Задача 3.097. Прямая \(DM\) перпендикулярна плоскости квадрата \(ABCD\). \(O\) — точка пересечения диагоналей квадрата; точка \(K\) — середина стороны \(CD\). Заполните таблицу, если \(DM = AD\). Для решения задачи нам потребуется построить чертеж и использовать свойства перпендикулярности прямой и плоскости, а также свойства квадрата. Дано: 1. \(ABCD\) — квадрат. 2. \(DM \perp (ABCD)\). 3. \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). 4. \(K\) — середина стороны \(CD\). 5. \(DM = AD\). Поскольку \(DM \perp (ABCD)\), то \(DM\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(ABCD\) и проходящей через точку \(D\). Значит, \(DM \perp AD\), \(DM \perp CD\), \(DM \perp BD\). Так как \(ABCD\) — квадрат, то все его стороны равны: \(AD = AB = BC = CD\). Также диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда \(AD = a\). По условию \(DM = AD\), значит \(DM = a\). Рассмотрим треугольники, образованные прямыми и плоскостями. 1. Прямая \(MC\) и плоскость \(ABC\). Проекция прямой \(MC\) на плоскость \(ABC\) — это прямая \(DC\). Угол между прямой \(MC\) и плоскостью \(ABC\) — это угол между \(MC\) и ее проекцией \(DC\), то есть \(\angle MCD\). Треугольник \(MDC\) — прямоугольный, так как \(DM \perp CD\). Катеты: \(DM = a\), \(CD = a\). Так как катеты равны, треугольник \(MDC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, \(\angle MCD = 45^\circ\). 2. Прямая \(MB\) и плоскость \(ABC\). Проекция прямой \(MB\) на плоскость \(ABC\) — это прямая \(DB\). Угол между прямой \(MB\) и плоскостью \(ABC\) — это угол между \(MB\) и ее проекцией \(DB\), то есть \(\angle MBD\). Треугольник \(MDB\) — прямоугольный, так как \(DM \perp DB\). Катеты: \(DM = a\). Диагональ квадрата \(BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\). В прямоугольном треугольнике \(MDB\): \(\tan(\angle MBD) = \frac{DM}{DB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). \(\angle MBD = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\). 3. Прямая \(MA\) и плоскость \(ABC\). Проекция прямой \(MA\) на плоскость \(ABC\) — это прямая \(DA\). Угол между прямой \(MA\) и плоскостью \(ABC\) — это угол между \(MA\) и ее проекцией \(DA\), то есть \(\angle MAD\). Треугольник \(MAD\) — прямоугольный, так как \(DM \perp AD\). Катеты: \(DM = a\), \(AD = a\). Так как катеты равны, треугольник \(MAD\) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, \(\angle MAD = 45^\circ\). 4. Прямая \(MO\) и плоскость \(ABC\). Проекция прямой \(MO\) на плоскость \(ABC\) — это прямая \(DO\). Угол между прямой \(MO\) и плоскостью \(ABC\) — это угол между \(MO\) и ее проекцией \(DO\), то есть \(\angle MOD\). Треугольник \(MOD\) — прямоугольный, так как \(DM \perp DO\). Катеты: \(DM = a\). Диагональ квадрата \(BD = a\sqrt{2}\). Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому \(DO = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(MOD\): \(\tan(\angle MOD) = \frac{DM}{DO} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\). \(\angle MOD = \arctan(\sqrt{2})\). 5. Прямая \(AC\) и плоскость \(MDC\). Плоскость \(MDC\) содержит прямую \(DC\). Прямая \(AC\) пересекает плоскость \(MDC\) в точке \(C\). Для нахождения угла между прямой и плоскостью, опустим перпендикуляр из точки \(A\) на плоскость \(MDC\). Поскольку \(ABCD\) — квадрат, \(AC\) не перпендикулярна \(DC\). \(AD \perp CD\). Также \(DM \perp CD\). Рассмотрим плоскость \(ADC\). \(AD\) лежит в плоскости \(ADC\). \(DM \perp (ABCD)\), значит \(DM \perp AD\). Угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(MDC\). Проекция \(AC\) на плоскость \(MDC\). Из точки \(A\) опустим перпендикуляр на плоскость \(MDC\). Поскольку \(AD \perp CD\) и \(DM \perp CD\), то \(CD\) перпендикулярна плоскости \(ADM\). Это не совсем так. \(CD\) перпендикулярна \(AD\) и \(DM\). Значит \(CD\) перпендикулярна плоскости \(ADM\). Тогда \(AD\) является перпендикуляром к \(CD\) в плоскости \(ABCD\). Рассмотрим точку \(A\). Из \(A\) опустим перпендикуляр на плоскость \(MDC\). Поскольку \(AD \perp CD\) и \(DM \perp CD\), то \(CD \perp (ADM)\). Это означает, что любая прямая в плоскости \(ADM\) перпендикулярна \(CD\). Угол между \(AC\) и плоскостью \(MDC\). Проекция \(AC\) на плоскость \(MDC\). Из точки \(A\) опустим перпендикуляр на плоскость \(MDC\). Поскольку \(AD \perp CD\), то \(AD\) перпендикулярна \(CD\). В плоскости \(MDC\), \(CD\) является одной из сторон. Угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(MDC\) — это угол между \(AC\) и ее проекцией на эту плоскость. Проекция точки \(A\) на плоскость \(MDC\) — это точка \(D\), так как \(AD \perp CD\) и \(AD \perp DM\) (поскольку \(DM \perp (ABCD)\) и \(AD \subset (ABCD)\)). Нет, это неверно. \(AD\) не перпендикулярна плоскости \(MDC\). \(DM \perp (ABCD)\), значит \(DM \perp AD\). \(CD \perp AD\) (стороны квадрата). Рассмотрим прямую \(AC\). Точка \(C\) лежит в плоскости \(MDC\). Нам нужно найти проекцию точки \(A\) на плоскость \(MDC\). Поскольку \(DM \perp (ABCD)\), то \(DM \perp AD\). Также \(CD \perp AD\). Значит, \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(CD\) и \(DM\) в плоскости \(MDC\). Следовательно, \(AD \perp (MDC)\). Тогда проекция точки \(A\) на плоскость \(MDC\) — это точка \(D\). Угол между прямой \(AC\) и плоскостью \(MDC\) — это угол между \(AC\) и ее проекцией \(DC\), то есть \(\angle ACD\). В квадрате \(ABCD\), диагональ \(AC\) делит угол \(\angle BCD\) пополам. \(\angle BCD = 90^\circ\). Значит, \(\angle ACD = 45^\circ\). 6. Прямая \(AD\) и плоскость \(MDC\). Мы уже выяснили, что \(AD \perp (MDC)\). Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен \(90^\circ\). Значит, \(\angle (AD, MDC) = 90^\circ\). 7. Прямая \(AB\) и плоскость \(MDC\). Прямая \(AB\) параллельна прямой \(CD\), которая лежит в плоскости \(MDC\). Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними равен \(0^\circ\). Значит, \(\angle (AB, MDC) = 0^\circ\). 8. Прямая \(OK\) и плоскость \(MDC\). Точка \(K\) — середина \(CD\). Точка \(O\) — середина \(BD\). В треугольнике \(BCD\), отрезок \(OK\) соединяет середины сторон \(BD\) и \(CD\). Значит, \(OK\) — средняя линия треугольника \(BCD\). Следовательно, \(OK \parallel BC\). Также \(OK = \frac{1}{2} BC\). Поскольку \(ABCD\) — квадрат, \(BC \parallel AD\). Мы знаем, что \(AD \perp (MDC)\). Так как \(OK \parallel BC\) и \(BC \parallel AD\), то \(OK \parallel AD\). Если прямая \(AD\) перпендикулярна плоскости \(MDC\), и \(OK \parallel AD\), то \(OK\) также перпендикулярна плоскости \(MDC\). Значит, \(\angle (OK, MDC) = 90^\circ\). 9. Прямая \(OM\) и плоскость \(MDC\). Точка \(M\) лежит в плоскости \(MDC\). Проекция точки \(O\) на плоскость \(MDC\). Мы знаем, что \(AD \perp (MDC)\). Проведем прямую через \(O\) параллельно \(AD\). Пусть эта прямая пересекает \(CD\) в точке \(K\). Тогда \(OK \perp (MDC)\). Значит, проекция точки \(O\) на плоскость \(MDC\) — это точка \(K\). Угол между прямой \(OM\) и плоскостью \(MDC\) — это угол между \(OM\) и ее проекцией \(KM\), то есть \(\angle OMK\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OKM\), где \(\angle OKM = 90^\circ\). Катет \(OK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} a\). Катет \(KM\). В прямоугольном треугольнике \(MDC\), \(DM = a\), \(CD = a\). \(K\) — середина \(CD\), значит \(DK = KC = \frac{a}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(MDK\): \(MK^2 = DM^2 + DK^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}\). \(MK = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(OKM\): \(\tan(\angle OMK) = \frac{OK}{MK} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\). \(\angle OMK = \arctan\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\). 10. Прямая \(AC\) и плоскость \(OAM\). Прямая \(AC\) пересекает плоскость \(OAM\) в точке \(A\). Точка \(O\) лежит на \(AC\). Значит, прямая \(AC\) лежит в плоскости \(OAM\). Если прямая лежит в плоскости, то угол между ними равен \(0^\circ\). Значит, \(\angle (AC, OAM) = 0^\circ\). 11. Прямая \(AO\) и плоскость \(ADM\). Прямая \(AO\) пересекает плоскость \(ADM\) в точке \(A\). Мы знаем, что \(DM \perp (ABCD)\), значит \(DM \perp AD\). Плоскость \(ADM\) — это плоскость, содержащая прямые \(AD\) и \(DM\). Угол между прямой \(AO\) и плоскостью \(ADM\). Проекция точки \(O\) на плоскость \(ADM\). Из точки \(O\) опустим перпендикуляр на плоскость \(ADM\). Поскольку \(ABCD\) — квадрат, \(AC \perp BD\). Значит, \(AO \perp OD\). \(DM \perp (ABCD)\), значит \(DM \perp OD\). Рассмотрим прямую \(OD\). Она перпендикулярна \(DM\) и \(AD\) (так как \(AD \perp BD\), а \(OD\) лежит на \(BD\)). Нет, \(AD\) не перпендикулярна \(BD\). \(AD\) перпендикулярна \(CD\) и \(AB\). \(DM \perp (ABCD)\), значит \(DM \perp AD\). \(AD\) лежит в плоскости \(ADM\). \(O\) — середина \(AC\). Проекция точки \(O\) на плоскость \(ADM\). Проведем из \(O\) перпендикуляр к \(AD\). Пусть это будет \(P\). \(OP \parallel CD\). \(OP = \frac{1}{2} CD = \frac{a}{2}\). \(OP \perp AD\). Поскольку \(DM \perp (ABCD)\), то \(DM \perp OP\). Значит, \(OP\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AD\) и \(DM\) в плоскости \(ADM\). Следовательно, \(OP \perp (ADM)\). Проекция точки \(O\) на плоскость \(ADM\) — это точка \(P\). Угол между прямой \(AO\) и плоскостью \(ADM\) — это угол между \(AO\) и ее проекцией \(AP\), то есть \(\angle OAP\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(APO\), где \(\angle APO = 90^\circ\). Катет \(OP = \frac{a}{2}\). Катет \(AP\). \(P\) — середина \(AD\), так как \(OP\) — средняя линия треугольника \(ACD\). Значит \(AP = \frac{1}{2} AD = \frac{a}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(APO\), катеты \(OP = AP = \frac{a}{2}\). Значит, треугольник \(APO\) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, \(\angle OAP = 45^\circ\). Теперь заполним таблицу.

№	Прямая и плоскость	Измеряемый плоский угол	Величина угла
1	\(MC\) и \(ABC\)	\(\angle MCD\)	\(45^\circ\)
2	\(MB\) и \(ABC\)	\(\angle MBD\)	\(\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)
3	\(MA\) и \(ABC\)	\(\angle MAD\)	\(45^\circ\)
4	\(MO\) и \(ABC\)	\(\angle MOD\)	\(\arctan(\sqrt{2})\)
5	\(AC\) и \(MDC\)	\(\angle ACD\)	\(45^\circ\)
6	\(AD\) и \(MDC\)		\(90^\circ\)
7	\(AB\) и \(MDC\)		\(0^\circ\)
8	\(OK\) и \(MDC\)		\(90^\circ\)
9	\(OM\) и \(MDC\)	\(\angle OMK\)	\(\arctan\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\)
10	\(AC\) и \(OAM\)		\(0^\circ\)
11	\(AO\) и \(ADM\)	\(\angle OAP\)	\(45^\circ\)