Угол в правильном 9-угольнике: решение задачи

Решение задачи: Дано: правильный 9-угольник. Найти: угол \(ABC\) (в градусах). 1. Найдем величину одного внутреннего угла правильного 9-угольника. Формула для нахождения суммы внутренних углов многоугольника: \[S = (n - 2) \cdot 180^\circ\] где \(n\) - количество сторон многоугольника. Для 9-угольника: \[S = (9 - 2) \cdot 180^\circ = 7 \cdot 180^\circ = 1260^\circ\] Так как многоугольник правильный, все его внутренние углы равны. Чтобы найти величину одного угла, разделим сумму на количество углов (сторон): \[\text{Угол} = \frac{S}{n} = \frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ\] Таким образом, каждый внутренний угол правильного 9-угольника равен \(140^\circ\). 2. Рассмотрим вершины 9-угольника. Пусть вершины обозначены последовательно \(V_1, V_2, \dots, V_9\). На рисунке точки \(A, B, C\) являются вершинами 9-угольника. Предположим, что \(B\) - это вершина \(V_1\). Тогда \(A\) - это вершина \(V_3\) (через одну вершину от \(B\)). И \(C\) - это вершина \(V_7\) (через пять вершин от \(B\)). (Или, если считать от \(B\) по часовой стрелке, \(A\) - это \(V_3\), \(C\) - это \(V_7\). Если против часовой стрелки, то \(A\) - это \(V_8\), \(C\) - это \(V_4\). Но это не влияет на результат, так как многоугольник правильный и симметричный). 3. Угол \(ABC\) состоит из двух углов: угла между стороной \(BA\) и диагональю \(BC\). Или, что более удобно, можно рассмотреть треугольники, образованные диагоналями. Рассмотрим центральный угол, который стягивает одну сторону правильного 9-угольника. \[\alpha = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ\] Каждая сторона 9-угольника стягивает дугу в \(40^\circ\). Угол \(ABC\) является вписанным углом в окружность, описанную вокруг 9-угольника. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол \(ABC\) опирается на дугу \(AC\). Посчитаем, сколько сторон 9-угольника находится между вершинами \(A\) и \(C\). На рисунке видно, что от \(A\) до \(B\) - 2 стороны (например, \(V_3 \to V_2 \to V_1\)). От \(B\) до \(C\) - 4 стороны (например, \(V_1 \to V_9 \to V_8 \to V_7\)). Значит, между \(A\) и \(C\) (по короткой дуге) находится \(2+4=6\) сторон. Дуга \(AC\) состоит из 6 дуг, каждая из которых соответствует одной стороне. Величина дуги \(AC\) = \(6 \cdot 40^\circ = 240^\circ\). Однако, угол \(ABC\) опирается на *меньшую* дугу \(AC\). Давайте пересчитаем. Пусть вершины 9-угольника обозначены \(V_1, V_2, \dots, V_9\) по часовой стрелке. Пусть \(B = V_1\). Тогда \(A = V_3\) (через одну вершину от \(B\)). И \(C = V_7\) (через 5 вершин от \(B\)). Угол \(ABC\) опирается на дугу \(AC\). Количество сторон между \(A\) и \(C\) (по короткой дуге): От \(V_3\) до \(V_7\) по часовой стрелке: \(V_3 \to V_4 \to V_5 \to V_6 \to V_7\). Это 4 стороны. Значит, дуга \(AC\) (короткая) = \(4 \cdot 40^\circ = 160^\circ\). Угол \(ABC\) = \(\frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ\). Проверим другим способом. Угол \(ABC\) можно представить как сумму углов, образованных диагоналями, выходящими из вершины \(B\). Угол \(ABC\) = Угол \(ABV_2\) + Угол \(V_2BV_3\) + Угол \(V_3BV_4\) + Угол \(V_4BV_5\) + Угол \(V_5BV_6\) + Угол \(V_6BC\). Это не очень удобно. Вернемся к первому способу. Угол \(ABC\) - это вписанный угол. Он опирается на дугу \(AC\). На рисунке видно, что между вершинами \(A\) и \(B\) находится одна вершина (назовем ее \(V_2\)). То есть дуга \(AB\) содержит 2 стороны 9-угольника. Между вершинами \(B\) и \(C\) находится три вершины (назовем их \(V_9, V_8, V_7\)). То есть дуга \(BC\) содержит 4 стороны 9-угольника. Значит, дуга \(AC\) (которая не содержит \(B\)) содержит \(2+4=6\) сторон 9-угольника. Величина одной дуги, стягиваемой одной стороной, равна \(360^\circ / 9 = 40^\circ\). Тогда дуга \(AC\) = \(6 \cdot 40^\circ = 240^\circ\). Но вписанный угол опирается на дугу, которая не содержит вершину угла. Если дуга \(AC\) (большая) = \(240^\circ\), то дуга \(AC\) (малая) = \(360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\). Угол \(ABC\) опирается на малую дугу \(AC\). Значит, угол \(ABC\) = \(\frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). Давайте еще раз внимательно посмотрим на рисунок и посчитаем количество сторон между вершинами. Пусть вершины 9-угольника пронумерованы \(1, 2, \dots, 9\) по часовой стрелке. Пусть \(B\) - это вершина \(1\). Тогда \(A\) - это вершина \(3\) (пропущена вершина \(2\)). И \(C\) - это вершина \(6\) (пропущены вершины \(7, 8, 9, 1\)). Нет, это не так. На рисунке видно, что от \(B\) до \(A\) по короткой дуге 2 стороны. От \(B\) до \(C\) по короткой дуге 4 стороны. Пусть \(B\) - это вершина \(V_1\). Тогда \(A\) - это вершина \(V_3\) (пропущена \(V_2\)). Тогда \(C\) - это вершина \(V_6\) (пропущены \(V_2, V_3, V_4, V_5\)). Нет, это не так. На рисунке видно, что от \(B\) до \(A\) по часовой стрелке 2 стороны. От \(B\) до \(C\) по часовой стрелке 4 стороны. Значит, от \(A\) до \(C\) по часовой стрелке (через \(B\)) 2 стороны. От \(A\) до \(C\) по часовой стрелке (не через \(B\)) 2 стороны. Давайте считать количество сторон между вершинами. Пусть \(B\) - это вершина \(V_1\). Тогда \(A\) - это вершина \(V_3\) (между \(V_1\) и \(V_3\) находится \(V_2\), то есть 2 стороны). Тогда \(C\) - это вершина \(V_5\) (между \(V_1\) и \(V_5\) находятся \(V_2, V_3, V_4\), то есть 4 стороны). Если так, то угол \(ABC\) опирается на дугу \(AC\). Дуга \(AC\) (короткая) = количество сторон между \(A\) и \(C\) (не включая \(B\)). От \(V_3\) до \(V_5\) - это \(V_3 \to V_4 \to V_5\). Это 2 стороны. Значит, дуга \(AC\) = \(2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\). Тогда угол \(ABC\) = \(\frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\). Давайте еще раз внимательно посмотрим на рисунок. Вершина \(B\). Вершина \(A\) находится через одну вершину от \(B\). То есть между \(B\) и \(A\) две стороны 9-угольника. Вершина \(C\) находится через три вершины от \(B\). То есть между \(B\) и \(C\) четыре стороны 9-угольника. Пусть вершины: \(V_1, V_2, V_3, V_4, V_5, V_6, V_7, V_8, V_9\). Пусть \(B = V_1\). Тогда \(A = V_3\) (между \(V_1\) и \(V_3\) две стороны: \(V_1V_2\) и \(V_2V_3\)). Тогда \(C = V_5\) (между \(V_1\) и \(V_5\) четыре стороны: \(V_1V_9, V_9V_8, V_8V_7, V_7V_6\)). Нет, это не так. На рисунке видно, что от \(B\) до \(A\) по часовой стрелке 2 стороны. От \(B\) до \(C\) по часовой стрелке 4 стороны. Значит, от \(A\) до \(C\) по часовой стрелке (не через \(B\)) 2 стороны. Дуга \(AC\) (короткая) = 2 стороны. Величина одной дуги, стягиваемой одной стороной, равна \(360^\circ / 9 = 40^\circ\). Дуга \(AC\) = \(2 \cdot 40^\circ = 80^\circ\). Угол \(ABC\) - вписанный угол, опирающийся на дугу \(AC\). Угол \(ABC\) = \(\frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\). Давайте проверим, если бы \(A\) и \(C\) были расположены по-другому. Если \(B = V_1\). \(A = V_3\). \(C = V_7\). Тогда дуга \(AC\) (короткая) = \(V_3 \to V_4 \to V_5 \to V_6 \to V_7\). Это 4 стороны. Дуга \(AC\) = \(4 \cdot 40^\circ = 160^\circ\). Угол \(ABC\) = \(\frac{1}{2} \cdot 160^\circ = 80^\circ\). Посмотрим на рисунок еще раз. От вершины \(B\) до вершины \(A\) (по короткой дуге) 2 стороны. От вершины \(B\) до вершины \(C\) (по короткой дуге) 4 стороны. Значит, от вершины \(A\) до вершины \(C\) (по короткой дуге, не проходящей через \(B\)) это \(9 - 2 - 4 = 3\) стороны. Дуга \(AC\) (короткая) = \(3 \cdot 40^\circ = 120^\circ\). Угол \(ABC\) = \(\frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\). Это наиболее логичный вариант, исходя из визуального расположения точек на рисунке. Давайте запишем решение. Решение: 1. Найдем величину центрального угла, который стягивает одну сторону правильного 9-угольника. Всего в окружности \(360^\circ\). Так как 9-угольник правильный, он делит окружность на 9 равных дуг. Величина одной такой дуги (соответствующей одной стороне) равна: \[\alpha = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ\] 2. Угол \(ABC\) является вписанным углом в окружность, описанную вокруг правильного 9-угольника. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. 3. Посчитаем количество сторон 9-угольника, которые составляют дугу \(AC\), на которую опирается угол \(ABC\). На рисунке видно, что от вершины \(B\) до вершины \(A\) (по короткой дуге) находится 2 стороны 9-угольника. (Например, если \(B\) - это \(V_1\), то \(A\) - это \(V_3\). Дуга \(V_1V_3\) состоит из дуг \(V_1V_2\) и \(V_2V_3\), то есть 2 стороны). От вершины \(B\) до вершины \(C\) (по короткой дуге) находится 4 стороны 9-угольника. (Например, если \(B\) - это \(V_1\), то \(C\) - это \(V_5\). Дуга \(V_1V_5\) состоит из дуг \(V_1V_2, V_2V_3, V_3V_4, V_4V_5\), то есть 4 стороны). 4. Теперь определим дугу \(AC\), на которую опирается угол \(ABC\). Эта дуга не должна содержать вершину \(B\). Общее количество сторон 9-угольника - 9. Количество сторон от \(B\) до \(A\) (по одной стороне) = 2. Количество сторон от \(B\) до \(C\) (по другой стороне) = 4. Тогда количество сторон, составляющих дугу \(AC\), на которую опирается угол \(ABC\), равно: \[9 - (\text{количество сторон от B до A}) - (\text{количество сторон от B до C}) = 9 - 2 - 4 = 3\] Таким образом, дуга \(AC\) состоит из 3 сторон 9-угольника. 5. Найдем величину дуги \(AC\): \[\text{Дуга } AC = 3 \cdot \alpha = 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ\] 6. Найдем величину угла \(ABC\): \[\text{Угол } ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{Дуга } AC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\] Ответ: \(60^\circ\).