Решение задач: раскрытие скобок и упрощение выражений

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.
1. (Устно)
1) Укажите выражение, которое тождественно равно выражению \((m-n)(m+n)\).
Ответ: \((m-n)(m+n) = m^2 - n^2\).
2) Укажите выражение, которое тождественно равно выражению \((2a+b)(b-2a)\).
Ответ: \((2a+b)(b-2a) = (b+2a)(b-2a) = b^2 - (2a)^2 = b^2 - 4a^2\).
2. Упростите выражение:
1) \((4x-1)(4x+1)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((4x-1)(4x+1) = (4x)^2 - 1^2 = 16x^2 - 1\).

2) \((2y-5)(2y+5)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((2y-5)(2y+5) = (2y)^2 - 5^2 = 4y^2 - 25\).

3) \((m-2n)(m+2n)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((m-2n)(m+2n) = m^2 - (2n)^2 = m^2 - 4n^2\).

4) \((5a-b)(5a+b)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((5a-b)(5a+b) = (5a)^2 - b^2 = 25a^2 - b^2\).

5) \((4a+2b)(4a-2b)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
\((4a+2b)(4a-2b) = (4a)^2 - (2b)^2 = 16a^2 - 4b^2\).

6) \((3x+2)(3x-2)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
\((3x+2)(3x-2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4\).

7) \((4c-d)(d+4c)\)
Решение:
Перепишем выражение: \((4c-d)(4c+d)\).
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((4c-d)(4c+d) = (4c)^2 - d^2 = 16c^2 - d^2\).

8) \((6a-c)(c+6a)\)
Решение:
Перепишем выражение: \((6a-c)(6a+c)\).
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((6a-c)(6a+c) = (6a)^2 - c^2 = 36a^2 - c^2\).
3. Представьте в виде многочлена произведение:
1) \((x^2-3)(x^2+3)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((x^2-3)(x^2+3) = (x^2)^2 - 3^2 = x^4 - 9\).

2) \((y^2-5)(y^2+5)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((y^2-5)(y^2+5) = (y^2)^2 - 5^2 = y^4 - 25\).

3) \((2a-bc)(2a+bc)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((2a-bc)(2a+bc) = (2a)^2 - (bc)^2 = 4a^2 - b^2c^2\).

4) \((3x-ab)(3x+ab)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((3x-ab)(3x+ab) = (3x)^2 - (ab)^2 = 9x^2 - a^2b^2\).

5) \((4m^2-3n)(4m^2+3n)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((4m^2-3n)(4m^2+3n) = (4m^2)^2 - (3n)^2 = 16m^4 - 9n^2\).

6) \((5a-3b^2)(5a+3b^2)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((5a-3b^2)(5a+3b^2) = (5a)^2 - (3b^2)^2 = 25a^2 - 9b^4\).

7) \((0,5x^2+2)(2-0,5x^2)\)
Решение:
Перепишем выражение: \((2+0,5x^2)(2-0,5x^2)\).
Используем формулу разности квадратов: \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
\((2+0,5x^2)(2-0,5x^2) = 2^2 - (0,5x^2)^2 = 4 - 0,25x^4\).

8) \((-y^2+1)(y^2+1)\)
Решение:
Перепишем выражение: \((1-y^2)(1+y^2)\).
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((1-y^2)(1+y^2) = 1^2 - (y^2)^2 = 1 - y^4\).
4. Запишите вместо многоточия одночлен, чтобы получилось тождество:
1) \((5a - ...)(5a + ...) = 25a^2 - 81b^2\)
Решение:
Мы знаем, что \((5a - x)(5a + x) = (5a)^2 - x^2 = 25a^2 - x^2\).
Сравнивая с \(25a^2 - 81b^2\), получаем \(x^2 = 81b^2\), значит \(x = 9b\).
Ответ: \((5a - 9b)(5a + 9b) = 25a^2 - 81b^2\).

2) \((6b + ...)(6b - ...) = 36b^2 - 49c^2\)
Решение:
Мы знаем, что \((6b + x)(6b - x) = (6b)^2 - x^2 = 36b^2 - x^2\).
Сравнивая с \(36b^2 - 49c^2\), получаем \(x^2 = 49c^2\), значит \(x = 7c\).
Ответ: \((6b + 7c)(6b - 7c) = 36b^2 - 49c^2\).

3) \((... - 6ab)(... + 6ab) = 0,04c^2 - 36a^2b^2\)
Решение:
Мы знаем, что \((x - 6ab)(x + 6ab) = x^2 - (6ab)^2 = x^2 - 36a^2b^2\).
Сравнивая с \(0,04c^2 - 36a^2b^2\), получаем \(x^2 = 0,04c^2\), значит \(x = 0,2c\).
Ответ: \((0,2c - 6ab)(0,2c + 6ab) = 0,04c^2 - 36a^2b^2\).

4) \((0,1m - ...)(0,1m + ...) = 0,01m^2 - 9b^2\)
Решение:
Мы знаем, что \((0,1m - x)(0,1m + x) = (0,1m)^2 - x^2 = 0,01m^2 - x^2\).
Сравнивая с \(0,01m^2 - 9b^2\), получаем \(x^2 = 9b^2\), значит \(x = 3b\).
Ответ: \((0,1m - 3b)(0,1m + 3b) = 0,01m^2 - 9b^2\).

5) \((... - \frac{2}{3}x)(... + \frac{2}{3}x) = \frac{4}{9}y^2 - \frac{4}{9}x^2\)
Решение:
Мы знаем, что \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\).
Здесь \(B = \frac{2}{3}x\), поэтому \(B^2 = (\frac{2}{3}x)^2 = \frac{4}{9}x^2\).
Тогда \(A^2 = \frac{4}{9}y^2\), значит \(A = \frac{2}{3}y\).
Ответ: \((\frac{2}{3}y - \frac{2}{3}x)(\frac{2}{3}y + \frac{2}{3}x) = \frac{4}{9}y^2 - \frac{4}{9}x^2\).

6) \((... - \frac{3}{4}m)(... + \frac{3}{4}m) = \frac{9}{16}n^2 - \frac{9}{16}m^2\)
Решение:
Мы знаем, что \((A - B)(A + B) = A^2 - B^2\).
Здесь \(B = \frac{3}{4}m\), поэтому \(B^2 = (\frac{3}{4}m)^2 = \frac{9}{16}m^2\).
Тогда \(A^2 = \frac{9}{16}n^2\), значит \(A = \frac{3}{4}n\).
Ответ: \((\frac{3}{4}n - \frac{3}{4}m)(\frac{3}{4}n + \frac{3}{4}m) = \frac{9}{16}n^2 - \frac{9}{16}m^2\).
5. Вычислите:
1) \((90-7)(90+7)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((90-7)(90+7) = 90^2 - 7^2 = 8100 - 49 = 8051\).

2) \((30-9)(30+9)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
\((30-9)(30+9) = 30^2 - 9^2 = 900 - 81 = 819\).

3) \(401 \cdot 399\)
Решение:
Представим числа как \((400+1)\) и \((400-1)\).
\((400+1)(400-1) = 400^2 - 1^2 = 160000 - 1 = 159999\).

4) \(203 \cdot 197\)
Решение:
Представим числа как \((200+3)\) и \((200-3)\).
\((200+3)(200-3) = 200^2 - 3^2 = 40000 - 9 = 39991\).

5) \(5,2 \cdot 4,8\)
Решение:
Представим числа как \((5+0,2)\) и \((5-0,2)\).
\((5+0,2)(5-0,2) = 5^2 - (0,2)^2 = 25 - 0,04 = 24,96\).

6) \(3,6 \cdot 2,4\)
Решение:
Представим числа как \((3+0,6)\) и \((3-0,6)\).
\((3+0,6)(3-0,6) = 3^2 - (0,6)^2 = 9 - 0,36 = 8,64\).

7) \(3,12 \cdot 2,88\)
Решение:
Представим числа как \((3+0,12)\) и \((3-0,12)\).
\((3+0,12)(3-0,12) = 3^2 - (0,12)^2 = 9 - 0,0144 = 8,9856\).

8) \(5,15 \cdot 4,85\)
Решение:
Представим числа как \((5+0,15)\) и \((5-0,15)\).
\((5+0,15)(5-0,15) = 5^2 - (0,15)^2 = 25 - 0,0225 = 24,9775\).

9) \(25,6 \cdot 26,4\)
Решение:
Представим числа как \((26-0,4)\) и \((26+0,4)\).
\((26-0,4)(26+0,4) = 26^2 - (0,4)^2 = 676 - 0,16 = 675,84\).

10) \(15,8 \cdot 16,2\)
Решение:
Представим числа как \((16-0,2)\) и \((16+0,2)\).
\((16-0,2)(16+0,2) = 16^2 - (0,2)^2 = 256 - 0,04 = 255,96\).
6. Представьте произведение в виде многочлена:
1) \((a-4)(a+4)(a^2+16)\)
Решение:
Сначала перемножим первые две скобки:
\((a-4)(a+4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16\).
Теперь умножим результат на третью скобку:
\((a^2-16)(a^2+16) = (a^2)^2 - 16^2 = a^4 - 256\).

2) \((n-1)(n+1)(n^2+1)\)
Решение:
Сначала перемножим первые две скобки:
\((n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1\).
Теперь умножим результат на третью скобку:
\((n^2-1)(n^2+1) = (n^2)^2 - 1^2 = n^4 - 1\).

3) \((x^2+2)(x^2-2)(x^4+4)\)
Решение:
Сначала перемножим первые две скобки:
\((x^2+2)(x^2-2) = (x^2)^2 - 2^2 = x^4 - 4\).
Теперь умножим результат на третью скобку:
\((x^4-4)(x^4+4) = (x^4)^2 - 4^2 = x^8 - 16\).

4) \((y^3+3)(y^3-3)(y^6+9)\)
Решение:
Сначала перемножим первые две скобки:
\((y^3+3)(y^3-3) = (y^3)^2 - 3^2 = y^6 - 9\).
Теперь умножим результат на третью скобку:
\((y^6-9)(y^6+9) = (y^6)^2 - 9^2 = y^{12} - 81\).

5) \((m^2+4n^2)(2n+m)(2n-m)\)
Решение:
Перепишем выражение, чтобы использовать формулу разности квадратов:
\((m^2+4n^2)(m+2n)(m-2n)\).
Сначала перемножим последние две скобки:
\((m+2n)(m-2n) = m^2 - (2n)^2 = m^2 - 4n^2\).
Теперь умножим результат на первую скобку:
\((m^2+4n^2)(m^2-4n^2) = (m^2)^2 - (4n^2)^2 = m^4 - 16n^4\).

6) \((4b^6+9a^2)(3a-2b^3)(2b^3+3a)\)
Решение:
Перепишем выражение, чтобы использовать формулу разности квадратов:
\((4b^6+9a^2)(3a-2b^3)(3a+2b^3)\).
Сначала перемножим последние две скобки:
\((3a-2b^3)(3a+2b^3) = (3a)^2 - (2b^3)^2 = 9a^2 - 4b^6\).
Теперь умножим результат на первую скобку:
\((4b^6+9a^2)(9a^2-4b^6)\).
Перепишем первую скобку: \((9a^2+4b^6)\).
\((9a^2+4b^6)(9a^2-4b^6) = (9a^2)^2 - (4b^6)^2 = 81a^4 - 16b^{12}\).

7) \((2a^2-3b^3)(2a^2+3b^3)\)
Решение:
Используем формулу разности квадратов: \((A-B)(A+B) = A^2 - B^2\).
\((2a^2-3b^3)(2a^2+3b^3) = (2a^2)^2 - (3b^3)^2 = 4a^4 - 9b^6\).

8) \((4x^2+2y)(2y-4x^2)\)
Решение:
Перепишем выражение: \((2y+4x^2)(2y-4x^2)\).
Используем формулу разности квадратов: \((A+B)(A-B) = A^2 - B^2\).
\((2y+4x^2)(2y-4x^2) = (2y)^2 - (4x^2)^2 = 4y^2 - 16x^4\).
7. Упростите выражение:
1) \((4x-3)(4x+3) - 2x(6x+1)\)
Решение:
\((4x-3)(4x+3) = (4x)^2 - 3^2 = 16x^2 - 9\).
\(2x(6x+1) = 12x^2 + 2x\).
Теперь вычтем:
\((16x^2 - 9) - (12x^2 + 2x) = 16x^2 - 9 - 12x^2 - 2x = 4x^2 - 2x - 9\).

2) \((2y+5)(2y-5) - y(4y-2)\)
Решение:
\((2y+5)(2y-5) = (2y)^2 - 5^2 = 4y^2 - 25\).
\(y(4y-2) = 4y^2 - 2y\).
Теперь вычтем:
\((4y^2 - 25) - (4y^2 - 2y) = 4y^2 - 25 - 4y^2 + 2y = 2y - 25\).

3) \(5x(x^2-x) - (x^2+x)(x^2-x)\)
Решение:
\(5x(x^2-x) = 5x^3 - 5x^2\).
\((x^2+x)(x^2-x) = (x^2)^2 - x^2 = x^4 - x^2\).
Теперь вычтем:
\((5x^3 - 5x^2) - (x^4 - x^2) = 5x^3 - 5x^2 - x^4 + x^2 = -x^4 + 5x^3 - 4x^2\).

4) \(-2y(y^3+y) - (y^3-y)(y^3+y)\)
Решение:
\(-2y(y^3+y) = -2y^4 - 2y^2\).
\((y^3-y)(y^3+y) = (y^3)^2 - y^2 = y^6 - y^2\).
Теперь вычтем:
\((-2y^4 - 2y^2) - (y^6 - y^2) = -2y^4 - 2y^2 - y^6 + y^2 = -y^6 - 2y^4 - y^2\).

5) \(-4(-2x-y)(y-2x)\)
Решение:
Перепишем выражение в скобках: \(-4(-(2x+y))(y-2x) = 4(2x+y)(y-2x)\).
Перепишем \((y-2x)\) как \(-(2x-y)\).
Тогда выражение будет: \(4(2x+y)(-(2x-y)) = -4(2x+y)(2x-y)\).
Используем формулу разности квадратов: \((2x+y)(2x-y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2\).
Теперь умножим на \(-4\):
\(-4(4x^2 - y^2) = -16x^2 + 4y^2\).

6) \(-2(3a-b)(-b-3a)\)
Решение:
Перепишем выражение в скобках: \(-2(3a-b)(-(b+3a)) = 2(3a-b)(3a+b)\).
Используем формулу разности квадратов: \((3a-b)(3a+b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2\).
Теперь умножим на \(2\):
\(2(9a^2 - b^2) = 18a^2 - 2b^2\).

7) \((3a+2a^2)^2 - (3a-a^2)(3a+a^2)\)
Решение:
\((3a+2a^2)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2a^2 + (2a^2)^2 = 9a^2 + 12a^3 + 4a^4\).
\((3a-a^2)(3a+a^2) = (3a)^2 - (a^2)^2 = 9a^2 - a^4\).
Теперь вычтем:
\((9a^2 + 12a^3 + 4a^4) - (9a^2 - a^4) = 9a^2 + 12a^3 + 4a^4 - 9a^2 + a^4 = 12a^3 + 5a^4\).

8) \((4m-n^2)^2 - (4m+n^2)(4m-n^2)\)
Решение:
\((4m-n^2)^2 = (4m)^2 - 2 \cdot 4m \cdot n^2 + (n^2)^2 = 16m^2 - 8mn^2 + n^4\).
\((4m+n^2)(4m-n^2) = (4m)^2 - (n^2)^2 = 16m^2 - n^4\).
Теперь вычтем:
\((16m^2 - 8mn^2 + n^4) - (16m^2 - n^4) = 16m^2 - 8mn^2 + n^4 - 16m^2 + n^4 = -8mn^2 + 2n^4\).
8. Упростите выражение и найдите его значение:
1) \((3a-2)(3a+2) - 9(a-1)^2\) при \(a = \frac{1}{9}\)
Решение:
Упростим выражение:
\((3a-2)(3a+2) = (3a)^2 - 2^2 = 9a^2 - 4\).
\(9(a-1)^2 = 9(a^2 - 2a + 1) = 9a^2 - 18a + 9\).
Теперь вычтем:
\((9a^2 - 4) - (9a^2 - 18a + 9) = 9a^2 - 4 - 9a^2 + 18a - 9 = 18a - 13\).
Подставим \(a = \frac{1}{9}\):
\(18 \cdot \frac{1}{9} - 13 = 2 - 13 = -11\).

2) \(4(b+3)^2 - (2b+5)(2b-5)\) при \(b = \frac{1}{6}\)
Решение:
Упростим выражение:
\(4(b+3)^2 = 4(b^2 + 6b + 9) = 4b^2 + 24b + 36\).
\((2b+5)(2b-5) = (2b)^2 - 5^2 = 4b^2 - 25\).
Теперь вычтем:
\((4b^2 + 24b + 36) - (4b^2 - 25) = 4b^2 + 24b + 36 - 4b^2 + 25 = 24b + 61\).
Подставим \(b = \frac{1}{6}\):
\(24 \cdot \frac{1}{6} + 61 = 4 + 61 = 65\).

3) \((4x+1)(1-4x) + 16(x-2)^2\) при \(x = -\frac{1}{8}\)
Решение:
Упростим выражение:
\((4x+1)(1-4x) = (1+4x)(1-4x) = 1^2 - (4x)^2 = 1 - 16x^2\).
\(16(x-2)^2 = 16(x^2 - 4x + 4) = 16x^2 - 64x + 64\).
Теперь сложим:
\((1 - 16x^2) + (16x^2 - 64x + 64) = 1 - 16x^2 + 16x^2 - 64x + 64 = 65 - 64x\).
Подставим \(x = -\frac{1}{8}\):
\(65 - 64 \cdot (-\frac{1}{8}) = 65 + 8 = 73\).

4) \((2y-5)(5-2y) + 4(y+2)^2\) при \(y = -\frac{1}{4}\)
Решение:
Упростим выражение:
\((2y-5)(5-2y) = -(5-2y)(5-2y) = -(5-2y)^2 = -(25 - 20y + 4y^2) = -25 + 20y - 4y^2\).
\(4(y+2)^2 = 4(y^2 + 4y + 4) = 4y^2 + 16y + 16\).
Теперь сложим:
\((-25 + 20y - 4y^2) + (4y^2 + 16y + 16) = -25 + 20y - 4y^2 + 4y^2 + 16y + 16 = 36y - 9\).
Подставим \(y = -\frac{1}{4}\):
\(36 \cdot (-\frac{1}{4}) - 9 = -9 - 9 = -18\).

5) \(4a(a-b) - (2a-b)(2a+b)\) при \(a = 0,25\), \(b = -0,75\)
Решение:
Упростим выражение:
\(4a(a-b) = 4a^2 - 4ab\).
\((2a-b)(2a+b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2\).
Теперь вычтем:
\((4a^2 - 4ab) - (4a^2 - b^2) = 4a^2 - 4ab - 4a^2 + b^2 = b^2 - 4ab\).
Подставим \(a = 0,25\) и \(b = -0,75\):
\((-0,75)^2 - 4 \cdot 0,25 \cdot (-0,75) = 0,5625 - 1 \cdot (-0,75) = 0,5625 + 0,75 = 1,3125\).

6) \((5m-2n)(5m+2n) - 4n(m-n)\) при \(m = 0,1\), \(n = -0,2\)
Решение:
Упростим выражение:
\((5m-2n)(5m+2n) = (5m)^2 - (2n)^2 = 25m^2 - 4n^2\).
\(4n(m-n) = 4mn - 4n^2\).
Теперь вычтем:
\((25m^2 - 4n^2) - (4mn - 4n^2) = 25m^2 - 4n^2 - 4mn + 4n^2 = 25m^2 - 4mn\).
Подставим \(m = 0,1\) и \(n = -0,2\):
\(25 \cdot (0,1)^2 - 4 \cdot 0,1 \cdot (-0,2) = 25 \cdot 0,01 - 0,4 \cdot (-0,2) = 0,25 + 0,08 = 0,33\).