Вопросы для самопроверки
1. Для функции \(y = f(x)\) на промежутке \(X\) выполняется неравенство \(f'(x) > 0\). Какое из утверждений верно:
а) функция убывает на \(X\);
б) функция возрастает на \(X\);
в) функция немонотонна на \(X\)?
Ответ:
Если производная функции \(f'(x)\) на промежутке \(X\) больше нуля (\(f'(x) > 0\)), то функция \(f(x)\) на этом промежутке возрастает.
Следовательно, верное утверждение: б) функция возрастает на \(X\).
2. Для функции \(y = f(x)\) на промежутке \(X\) выполняется неравенство \(f'(x) < 0\). Какое из утверждений верно:
а) функция убывает на \(X\);
б) функция возрастает на \(X\);
в) функция немонотонна на \(X\)?
Ответ:
Если производная функции \(f'(x)\) на промежутке \(X\) меньше нуля (\(f'(x) < 0\)), то функция \(f(x)\) на этом промежутке убывает.
Следовательно, верное утверждение: а) функция убывает на \(X\).
3. Известно, что для функции \(y = f(x)\) на интервале \((2; 7)\) выполняется равенство \(f'(x) = 0\) и что \(f(5) = 3,7\). Вычислите:
а) \(f(3)\);
б) \(f(\sqrt{45})\);
в) \(f\left(4\frac{1}{3}\right) - f\left(8 \sin \frac{\pi}{6}\right)\).
Ответ:
Если на интервале \((2; 7)\) выполняется равенство \(f'(x) = 0\), это означает, что функция \(f(x)\) на этом интервале является константой (постоянной величиной).
Нам дано, что \(f(5) = 3,7\). Поскольку \(5\) принадлежит интервалу \((2; 7)\), то значение функции на всем этом интервале равно \(3,7\).
а) Вычислим \(f(3)\):
Число \(3\) принадлежит интервалу \((2; 7)\).
Значит, \(f(3) = 3,7\).
б) Вычислим \(f(\sqrt{45})\):
Найдем приближенное значение \(\sqrt{45}\):
\(6^2 = 36\), \(7^2 = 49\).
Значит, \(6 < \sqrt{45} < 7\). Например, \(\sqrt{45} \approx 6,7\).
Число \(\sqrt{45}\) принадлежит интервалу \((2; 7)\).
Значит, \(f(\sqrt{45}) = 3,7\).
в) Вычислим \(f\left(4\frac{1}{3}\right) - f\left(8 \sin \frac{\pi}{6}\right)\):
Сначала найдем значение \(4\frac{1}{3}\):
\(4\frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} \approx 4,33\).
Число \(4\frac{1}{3}\) принадлежит интервалу \((2; 7)\).
Значит, \(f\left(4\frac{1}{3}\right) = 3,7\).
Теперь найдем значение \(8 \sin \frac{\pi}{6}\):
Известно, что \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).
Тогда \(8 \sin \frac{\pi}{6} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\).
Число \(4\) принадлежит интервалу \((2; 7)\).
Значит, \(f\left(8 \sin \frac{\pi}{6}\right) = f(4) = 3,7\).
Теперь вычислим разность:
\(f\left(4\frac{1}{3}\right) - f\left(8 \sin \frac{\pi}{6}\right) = 3,7 - 3,7 = 0\).
4. Что такое точка минимума функции, что такое точка максимума?
Ответ:
Точка минимума функции – это значение аргумента (переменной \(x\)), при котором функция достигает своего наименьшего значения в некоторой окрестности этой точки. Если функция непрерывна и дифференцируема, то в точке минимума её производная равна нулю или не существует, и при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс (функция сначала убывает, а затем возрастает).
Точка максимума функции – это значение аргумента (переменной \(x\)), при котором функция достигает своего наибольшего значения в некоторой окрестности этой точки. Если функция непрерывна и дифференцируема, то в точке максимума её производная равна нулю или не существует, и при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус (функция сначала возрастает, а затем убывает).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума функции.