§31. Построение графиков функций
5. Начертите график непрерывной кусочной функции так, чтобы у неё было три точки экстремума. Охарактеризуйте каждую из этих точек — точка максимума или минимума.
Ответ:
Для выполнения этого задания нужно нарисовать график. Вот пример такой функции и описание её точек экстремума:
Представим функцию, которая выглядит как "волна" или "горки". Например, можно использовать комбинацию парабол или других кривых.
Пример графика:
Представьте, что вы рисуете кривую, которая сначала идет вниз, потом вверх, потом снова вниз, а затем снова вверх. Вот как это можно описать:
1. Начните с точки, где функция убывает.
2. Достигните первой "впадины" – это будет точка минимума.
3. После этого функция начинает возрастать.
4. Достигните первой "вершины" – это будет точка максимума.
5. Затем функция снова начинает убывать.
6. Достигните второй "впадины" – это будет вторая точка минимума.
Таким образом, у нас будет три точки экстремума: две точки минимума и одна точка максимума (или наоборот, одна точка минимума и две точки максимума, если начать с возрастания).
Характеристика точек:
— Точка минимума: Значение функции в этой точке меньше, чем в соседних точках. График функции в этой точке имеет "дно". Производная меняет знак с минуса на плюс.
— Точка максимума: Значение функции в этой точке больше, чем в соседних точках. График функции в этой точке имеет "вершину". Производная меняет знак с плюса на минус.
6. Начертите график непрерывной функции, у которой точка \(x = 1\) является критической, но не является точкой экстремума.
Ответ:
Критическая точка – это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует. Чтобы критическая точка не была точкой экстремума, функция должна продолжать монотонно возрастать или убывать через эту точку.
Пример такой функции – \(y = (x-1)^3\).
1. Найдем производную: \(y' = 3(x-1)^2\).
2. Приравняем производную к нулю: \(3(x-1)^2 = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1\).
3. Точка \(x = 1\) является критической, так как \(y'(1) = 0\).
4. Рассмотрим знак производной до и после \(x = 1\):
— Если \(x < 1\), например \(x = 0\), то \(y' = 3(0-1)^2 = 3 > 0\). Функция возрастает.
— Если \(x > 1\), например \(x = 2\), то \(y' = 3(2-1)^2 = 3 > 0\). Функция возрастает.
Поскольку знак производной не меняется (остается положительным), функция продолжает возрастать через точку \(x = 1\). Следовательно, \(x = 1\) не является точкой экстремума.
График: Нарисуйте кубическую параболу \(y = x^3\), но сдвинутую так, чтобы "перегиб" был в точке \(x = 1\). То есть, график будет возрастать, иметь горизонтальную касательную в точке \((1, 0)\) (если \(f(1)=0\)), и продолжать возрастать.
7. Начертите график непрерывной функции, у которой точка \(x = 1\) является стационарной, но не является точкой экстремума.
Ответ:
Стационарная точка – это критическая точка, в которой производная функции равна нулю (\(f'(x) = 0\)).
Это задание по сути повторяет предыдущее. Точка \(x = 1\) в функции \(y = (x-1)^3\) является стационарной, потому что \(f'(1) = 0\), и не является точкой экстремума, так как функция продолжает возрастать через эту точку.
График: Тот же, что и в пункте 6. Кубическая парабола \(y = (x-1)^3\), которая возрастает, имеет горизонтальную касательную в точке \((1, 0)\) и продолжает возрастать.
8. Сформулируйте теорему о необходимых условиях экстремума.
Ответ:
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума):
Если функция \(f(x)\) имеет экстремум (максимум или минимум) в точке \(x_0\), и в этой точке существует производная \(f'(x_0)\), то эта производная равна нулю: \(f'(x_0) = 0\).
Важное замечание: Это условие является необходимым, но не достаточным. То есть, если производная равна нулю, это не всегда означает, что в точке экстремум (как мы видели в задачах 6 и 7).
9. Сформулируйте теорему о достаточных условиях экстремума.
Ответ:
Первое достаточное условие экстремума (по изменению знака первой производной):
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x_0\) и дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Если при переходе через точку \(x_0\):
а) производная \(f'(x)\) меняет знак с плюса на минус, то \(x_0\) является точкой максимума.
б) производная \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс, то \(x_0\) является точкой минимума.
в) производная \(f'(x)\) не меняет знак, то \(x_0\) не является точкой экстремума.
Второе достаточное условие экстремума (по знаку второй производной):
Пусть функция \(f(x)\) дважды дифференцируема в точке \(x_0\), и \(f'(x_0) = 0\). Тогда:
а) если \(f''(x_0) < 0\), то \(x_0\) является точкой максимума.
б) если \(f''(x_0) > 0\), то \(x_0\) является точкой минимума.
в) если \(f''(x_0) = 0\), то требуется дополнительное исследование (например, с помощью первой производной).
10. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
Ответ:
Последовательность действий для исследования функции на монотонность и экстремумы:
1. Найти область определения функции \(D(f)\).
2. Найти первую производную функции \(f'(x)\).
3. Найти критические точки:
— Приравнять производную к нулю: \(f'(x) = 0\). Решить это уравнение, чтобы найти стационарные точки.
— Найти точки, в которых производная не существует (но функция определена).
4. Разбить область определения функции на интервалы критическими точками.
5. Определить знак производной \(f'(x)\) на каждом из полученных интервалов, выбрав по одной пробной точке из каждого интервала и подставив её в \(f'(x)\).
6. Сделать выводы о монотонности:
— Если \(f'(x) > 0\) на интервале, то функция возрастает на этом интервале.
— Если \(f'(x) < 0\) на интервале, то функция убывает на этом интервале.
7. Сделать выводы об экстремумах:
— Если при переходе через критическую точку \(x_0\) производная меняет знак с плюса на минус, то \(x_0\) – точка максимума.
— Если при переходе через критическую точку \(x_0\) производная меняет знак с минуса на плюс, то \(x_0\) – точка минимума.
— Если знак производной не меняется, то в точке \(x_0\) нет экстремума.
8. Вычислить значения функции в точках экстремума, чтобы найти сами экстремумы (значения функции в этих точках).
11. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию
\[y = \begin{cases} x^2, & x \le 1, \\ 2 - x, & x > 1. \end{cases}\]Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?
Ответ:
Да, в данном случае нужно прибегать к помощи производной, так как функция задана кусочно, и нам нужно определить её поведение в окрестности точки "стыка" \(x=1\), а также на интервалах, где она задана разными формулами.
Исследование функции:
1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, \(D(f) = (-\infty; +\infty)\).
2. Непрерывность в точке \(x=1\):
— Значение функции в точке \(x=1\): \(f(1) = 1^2 = 1\).
— Предел слева: \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1\).
— Предел справа: \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1\).
Так как \(f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1\), функция непрерывна в точке \(x=1\).
3. Нахождение производной:
Для \(x < 1\): \(f'(x) = (x^2)' = 2x\).
Для \(x > 1\): \(f'(x) = (2 - x)' = -1\).
Исследуем производную в точке \(x=1\):
— Левая производная: \(\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^-} 2x = 2 \cdot 1 = 2\).
— Правая производная: \(\lim_{x \to 1^+} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} (-1) = -1\).
Так как левая и правая производные не равны (\(2 \ne -1\)), производная \(f'(x)\) не существует в точке \(x=1\). Точка \(x=1\) является критической точкой.
4. Критические точки:
— Для \(x < 1\): \(f'(x) = 2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Это стационарная точка.
— Для \(x > 1\): \(f'(x) = -1 \ne 0\). Нет стационарных точек.
— Точка, где производная не существует: \(x = 1\).
Итак, критические точки: \(x = 0\) и \(x = 1\).
5. Интервалы монотонности и экстремумы:
Разбиваем числовую ось на интервалы критическими точками: \((-\infty; 0)\), \((0; 1)\), \((1; +\infty)\).
— Интервал \((-\infty; 0)\):
Возьмем пробную точку \(x = -1\).
\(f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 < 0\).
Функция убывает на \((-\infty; 0)\).
— Интервал \((0; 1)\):
Возьмем пробную точку \(x = 0,5\).
\(f'(0,5) = 2 \cdot 0,5 = 1 > 0\).
Функция возрастает на \((0; 1)\).
— Интервал \((1; +\infty)\):
Возьмем пробную точку \(x = 2\).
\(f'(2) = -1 < 0\).
Функция убывает на \((1; +\infty)\).
6. Выводы об экстремумах:
— Точка \(x = 0\): При переходе через \(x=0\) производная меняет знак с минуса на плюс (убывает, потом возрастает). Значит, \(x = 0\) – точка минимума.
Значение функции в точке минимума: \(f(0) = 0^2 = 0\).
— Точка \(x = 1\): При переходе через \(x=1\) производная меняет знак с плюса на минус (возрастает, потом убывает). Значит, \(x = 1\) – точка максимума.
Значение функции в точке максимума: \(f(1) = 1^2 = 1\).
Итог:
— Функция убывает на интервале \((-\infty; 0]\).
— Функция возрастает на интервале \([0; 1]\).
— Функция убывает на интервале \([1; +\infty)\).
— Точка минимума: \(x = 0\), \(y_{min} = 0\).
— Точка максимума: \(x = 1\), \(y_{max} = 1\).