Решение: Доказательство равенства треугольников ABD и ACD

Хорошо, давайте разберем задачи по порядку. Вариант 4 1. Докажите равенство треугольников \(ABD\) и \(ACD\) (рис. 48), если \(AB = AC\) и \(BD = CD\). Решение: Дано: Треугольник \(ABC\). \(AB = AC\) (это означает, что треугольник \(ABC\) равнобедренный). \(BD = CD\) (точка \(D\) делит сторону \(BC\) на две равные части). Требуется доказать: Треугольник \(ABD\) равен треугольнику \(ACD\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ACD\). 1. Сторона \(AB\) равна стороне \(AC\) по условию. 2. Сторона \(BD\) равна стороне \(CD\) по условию. 3. Сторона \(AD\) является общей для обоих треугольников. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае: \(AB = AC\) \(BD = CD\) \(AD = AD\) (общая сторона) Следовательно, треугольник \(ABD\) равен треугольнику \(ACD\). Что и требовалось доказать. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 40 см, а боковая сторона на 2 см больше основания. Решение: Дано: Равнобедренный треугольник. Периметр \(P = 40\) см. Боковая сторона на 2 см больше основания. Требуется найти: Длины сторон треугольника. Пусть основание треугольника будет \(x\) см. Тогда боковая сторона будет \((x + 2)\) см. Поскольку треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны равны. Значит, стороны треугольника: \(x\), \((x + 2)\), \((x + 2)\). Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. \(P = x + (x + 2) + (x + 2)\) \(40 = x + x + 2 + x + 2\) \(40 = 3x + 4\) Теперь решим это уравнение относительно \(x\): \(3x = 40 - 4\) \(3x = 36\) \(x = \frac{36}{3}\) \(x = 12\) Итак, основание треугольника равно 12 см. Боковая сторона равна \(x + 2 = 12 + 2 = 14\) см. Проверим: Стороны треугольника: 12 см, 14 см, 14 см. Периметр: \(12 + 14 + 14 = 40\) см. Условие выполнено. Ответ: Стороны треугольника равны 12 см, 14 см, 14 см. 3. На основании \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) отметили точки \(D\) и \(E\) так, что \(AD = CE\), точка \(D\) лежит между точками \(A\) и \(E\). Докажите, что \(\angle ABD = \angle CBE\). Решение: Дано: Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\). Это означает, что \(AB = BC\) и \(\angle BAC = \angle BCA\). Точки \(D\) и \(E\) лежат на основании \(AC\). \(AD = CE\). Точка \(D\) лежит между \(A\) и \(E\). Требуется доказать: \(\angle ABD = \angle CBE\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBE\). 1. Сторона \(AB\) равна стороне \(BC\), так как треугольник \(ABC\) равнобедренный по условию. 2. Угол \(\angle BAD\) (или \(\angle BAC\)) равен углу \(\angle BCE\) (или \(\angle BCA\)), так как углы при основании равнобедренного треугольника равны. 3. Сторона \(AD\) равна стороне \(CE\) по условию. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае: \(AB = BC\) \(\angle BAD = \angle BCE\) \(AD = CE\) Следовательно, треугольник \(ABD\) равен треугольнику \(CBE\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Значит, \(\angle ABD = \angle CBE\). Что и требовалось доказать. 4. Известно, что \(\angle BST = \angle AST\) и \(\angle STB = \angle STA\) (рис. 49). Докажите, что \(BK = AK\). Решение: Дано: На рисунке 49 изображены точки \(A, B, S, T, K\). \(\angle BST = \angle AST\). Это означает, что \(ST\) является биссектрисой угла \(\angle BSA\). \(\angle STB = \angle STA\). Это означает, что \(ST\) является биссектрисой угла \(\angle ATB\). Требуется доказать: \(BK = AK\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(BST\) и \(AST\). 1. Сторона \(ST\) является общей для обоих треугольников. 2. Угол \(\angle BST\) равен углу \(\angle AST\) по условию. 3. Угол \(\angle STB\) равен углу \(\angle STA\) по условию. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае: \(\angle BST = \angle AST\) \(ST = ST\) (общая сторона) \(\angle STB = \angle STA\) Следовательно, треугольник \(BST\) равен треугольнику \(AST\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, \(BT = AT\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABT\). Мы доказали, что \(BT = AT\). Это означает, что треугольник \(ABT\) является равнобедренным с основанием \(AB\). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Линия \(TK\) является частью линии \(ST\). Из условия \(\angle STB = \angle STA\) следует, что \(ST\) является биссектрисой угла \(\angle ATB\). Однако, для доказательства \(BK = AK\), нам нужно показать, что \(TK\) является медианой в треугольнике \(ABT\). Давайте пересмотрим. Если треугольники \(BST\) и \(AST\) равны, то все их соответствующие элементы равны. Значит, \(BS = AS\) и \(BT = AT\). Также \(\angle TBS = \angle TAS\). Рассмотрим треугольник \(ABT\). Мы знаем, что \(AT = BT\). Значит, треугольник \(ABT\) равнобедренный. Точка \(K\) лежит на отрезке \(AB\). Линия \(TK\) соединяет вершину \(T\) с точкой \(K\) на основании \(AB\). Если \(ST\) является биссектрисой угла \(\angle ATB\), то она делит угол \(\angle ATB\) пополам. Если \(ST\) является биссектрисой угла \(\angle BSA\), то она делит угол \(\angle BSA\) пополам. Давайте используем равенство треугольников \(BST\) и \(AST\). Из этого равенства следует, что \(AS = BS\) и \(AT = BT\). Теперь рассмотрим треугольник \(ABS\). Он равнобедренный, так как \(AS = BS\). Рассмотрим треугольник \(ABT\). Он равнобедренный, так как \(AT = BT\). В равнобедренном треугольнике \(ABT\) (где \(AT = BT\)), медиана, проведенная к основанию \(AB\), является также высотой и биссектрисой угла при вершине \(T\). Если \(TK\) является медианой, то \(AK = BK\). Если \(TK\) является биссектрисой угла \(\angle ATB\), то \(\angle ATK = \angle BTK\). Если \(TK\) является высотой, то \(TK \perp AB\). Из условия \(\angle STB = \angle STA\) следует, что \(ST\) является биссектрисой угла \(\angle ATB\). Поскольку \(K\) лежит на \(AB\), то \(TK\) является биссектрисой угла \(\angle ATB\) в треугольнике \(ABT\). В равнобедренном треугольнике \(ABT\) (\(AT = BT\)), биссектриса \(TK\), проведенная к основанию \(AB\), является также медианой. А медиана делит сторону, к которой она проведена, пополам. Следовательно, \(AK = BK\). Что и требовалось доказать. 5. Прямая, проведённая через вершину \(A\) треугольника \(ABC\), перпендикулярна его медиане \(CM\) и делит её пополам. Найдите сторону \(AC\), если \(AB = 18\) см. Решение: Дано: Треугольник \(ABC\). Медиана \(CM\), то есть \(AM = MB\). Прямая, проходящая через вершину \(A\), назовем её \(l\). Прямая \(l\) перпендикулярна медиане \(CM\). Пусть точка пересечения прямой \(l\) и медианы \(CM\) будет \(K\). Значит, \(\angle AKC = 90^\circ\). Прямая \(l\) делит медиану \(CM\) пополам. Значит, \(CK = KM\). \(AB = 18\) см. Требуется найти: Сторону \(AC\). Рассмотрим треугольник \(ACM\). В этом треугольнике отрезок \(AK\) является высотой, так как \(AK \perp CM\). Также отрезок \(AK\) является медианой, так как \(CK = KM\). Если в треугольнике высота совпадает с медианой, то такой треугольник является равнобедренным. Значит, треугольник \(ACM\) равнобедренный с основанием \(CM\). Следовательно, \(AC = AM\). По условию, \(CM\) – медиана треугольника \(ABC\). Это означает, что точка \(M\) является серединой стороны \(AB\). Значит, \(AM = MB = \frac{1}{2} AB\). Нам дано, что \(AB = 18\) см. Тогда \(AM = \frac{1}{2} \times 18 = 9\) см. Так как \(AC = AM\), то \(AC = 9\) см. Ответ: Сторона \(AC\) равна 9 см.