А1. AB и CD пересекаются в точке O, \(AO = 12\) см, \(BO = 4\) см, \(CO = 30\) см, \(DO = 10\) см. \(\angle DOB = 52^\circ\), \(\angle DBO = 61^\circ\). Чему равен угол ACO?
Решение:
Рассмотрим треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\).
У нас есть следующие длины сторон:
- \(AO = 12\) см
- \(BO = 4\) см
- \(CO = 30\) см
- \(DO = 10\) см
Найдем отношения сторон, прилежащих к углу \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\). Эти углы являются вертикальными, поэтому \(\angle AOD = \angle BOC\).
Отношение сторон в \(\triangle AOD\):
\[\frac{AO}{DO} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}\]Отношение сторон в \(\triangle BOC\):
\[\frac{CO}{BO} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}\]Эти отношения не равны. Значит, треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\) не подобны по двум сторонам и углу между ними.
Давайте рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\).
У нас есть следующие длины сторон:
- \(AO = 12\) см
- \(BO = 4\) см
- \(CO = 30\) см
- \(DO = 10\) см
Найдем отношения сторон, прилежащих к углу \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\). Эти углы являются вертикальными, поэтому \(\angle AOC = \angle BOD\).
Отношение сторон в \(\triangle AOC\):
\[\frac{AO}{CO} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}\]Отношение сторон в \(\triangle BOD\):
\[\frac{BO}{DO} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\]Так как \(\frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} = \frac{2}{5}\) и \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные углы), то треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\) подобны по двум сторонам и углу между ними (первый признак подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует, что соответствующие углы равны:
\[\angle CAO = \angle BDO\] \[\angle ACO = \angle DBO\] \[\angle AOC = \angle BOD\]Нам дано, что \(\angle DBO = 61^\circ\). Следовательно, \(\angle ACO = \angle DBO = 61^\circ\).
Ответ: 1) 61°
А2. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках E и K соответственно, \(BE = 8\) см, \(AB = 12\) см, \(BK = 6\) см, \(BC = 9\) см, \(EK = 10\) см. Чему равна сторона AC?
Решение:
Поскольку прямая EK параллельна стороне AC, то треугольник \(\triangle EBK\) подобен треугольнику \(\triangle ABC\) (по двум углам: \(\angle B\) - общий, \(\angle BEK = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых EK и AC и секущей AB).
Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\[\frac{BE}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{EK}{AC}\]Подставим известные значения:
- \(BE = 8\) см
- \(AB = 12\) см
- \(BK = 6\) см
- \(BC = 9\) см
- \(EK = 10\) см
Проверим отношение сторон:
\[\frac{BE}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\] \[\frac{BK}{BC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]Отношения равны, что подтверждает подобие. Теперь используем это отношение для нахождения AC:
\[\frac{EK}{AC} = \frac{2}{3}\] \[\frac{10}{AC} = \frac{2}{3}\]Чтобы найти AC, умножим обе части на \(3 \cdot AC\):
\[10 \cdot 3 = 2 \cdot AC\] \[30 = 2 \cdot AC\] \[AC = \frac{30}{2}\] \[AC = 15 \text{ см}\]Ответ: 2) 15 см
А3. В прямоугольном треугольнике ABC \(\angle A = 40^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\), а в треугольнике MNK углы M, N, K относятся как \(5 : 9 : 4\), \(AB = 3\) см, \(KN = 9\) см. Чему равно отношение BC к NM?
Решение:
Сначала найдем углы треугольника MNK.
Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Пусть углы M, N, K равны \(5x\), \(9x\) и \(4x\) соответственно.
\[5x + 9x + 4x = 180^\circ\] \[18x = 180^\circ\] \[x = \frac{180^\circ}{18}\] \[x = 10^\circ\]Тогда углы треугольника MNK:
- \(\angle M = 5x = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ\)
- \(\angle N = 9x = 9 \cdot 10^\circ = 90^\circ\)
- \(\angle K = 4x = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ\)
Теперь рассмотрим углы треугольника ABC:
- \(\angle A = 40^\circ\)
- \(\angle B = 90^\circ\)
Найдем \(\angle C\):
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ\]Сравним углы треугольников ABC и MNK:
Углы \(\triangle ABC\): \(\angle A = 40^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\), \(\angle C = 50^\circ\).
Углы \(\triangle MNK\): \(\angle M = 50^\circ\), \(\angle N = 90^\circ\), \(\angle K = 40^\circ\).
Мы видим, что углы треугольников равны, но в другом порядке:
- \(\angle A = \angle K = 40^\circ\)
- \(\angle B = \angle N = 90^\circ\)
- \(\angle C = \angle M = 50^\circ\)
Значит, треугольник \(\triangle ABC\) подобен треугольнику \(\triangle KNM\) (по трем углам).
Из подобия следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\[\frac{AB}{KN} = \frac{BC}{NM} = \frac{AC}{KM}\]Нам даны:
- \(AB = 3\) см
- \(KN = 9\) см
Найдем отношение \(\frac{AB}{KN}\):
\[\frac{AB}{KN} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]Нас просят найти отношение \(\frac{BC}{NM}\). Из подобия мы знаем, что:
\[\frac{BC}{NM} = \frac{AB}{KN}\] \[\frac{BC}{NM} = \frac{1}{3}\]Ответ: 1) 1 : 3
А4. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и H соответственно, \(MB = 2\) см, \(AM = 14\) см, \(MH = 4\) см. Чему равна длина стороны AC?
Решение:
Поскольку прямая MH параллельна стороне AC, то треугольник \(\triangle MBH\) подобен треугольнику \(\triangle ABC\) (по двум углам: \(\angle B\) - общий, \(\angle BMH = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых MH и AC и секущей AB).
Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны:
\[\frac{MB}{AB} = \frac{BH}{BC} = \frac{MH}{AC}\]Нам даны:
- \(MB = 2\) см
- \(AM = 14\) см
- \(MH = 4\) см
Найдем длину стороны AB:
\[AB = AM + MB = 14 \text{ см} + 2 \text{ см} = 16 \text{ см}\]Теперь используем отношение сторон для нахождения AC:
\[\frac{MB}{AB} = \frac{MH}{AC}\] \[\frac{2}{16} = \frac{4}{AC}\]Упростим дробь \(\frac{2}{16}\):
\[\frac{1}{8} = \frac{4}{AC}\]Чтобы найти AC, умножим обе части на \(8 \cdot AC\):
\[AC = 4 \cdot 8\] \[AC = 32 \text{ см}\]Ответ: 4) 32 см
В1. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Периметры треугольников BOC и AOD относятся как \(2 : 3\), \(AC = 20\). Найдите длины отрезков AO и OC.
Решение:
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\) подобны. Это следует из того, что AD || BC:
- \(\angle BOC = \angle AOD\) (как вертикальные углы)
- \(\angle OBC = \angle ODA\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD)
- \(\angle OCB = \angle OAD\) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC)
Так как все углы равны, то \(\triangle BOC \sim \triangle DOA\).
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Дано, что отношение периметров \(\frac{P_{\triangle BOC}}{P_{\triangle AOD}} = \frac{2}{3}\). Значит, коэффициент подобия \(k = \frac{2}{3}\).
Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия:
\[\frac{OC}{AO} = \frac{BC}{AD} = \frac{BO}{DO} = k = \frac{2}{3}\]Нам известно, что \(AC = 20\). Диагональ AC состоит из отрезков AO и OC:
\[AC = AO + OC\] \[20 = AO + OC\]У нас есть система уравнений:
- \(AO + OC = 20\)
- \(\frac{OC}{AO} = \frac{2}{3}\)
Из второго уравнения выразим OC через AO:
\[OC = \frac{2}{3} AO\]Подставим это выражение в первое уравнение:
\[AO + \frac{2}{3} AO = 20\]Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{3}{3} AO + \frac{2}{3} AO = 20\] \[\frac{5}{3} AO = 20\]Найдем AO:
\[AO = 20 \cdot \frac{3}{5}\] \[AO = \frac{60}{5}\] \[AO = 12 \text{ см}\]Теперь найдем OC:
\[OC = 20 - AO\] \[OC = 20 - 12\] \[OC = 8 \text{ см}\]Проверим с помощью отношения:
\[\frac{OC}{AO} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]Все верно.
Ответ: \(AO = 12\) см, \(OC = 8\) см.
С1. Диагональ AC трапеции ABCD (AB || CD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если \(AB = 25\) см, \(BC = 20\) см, \(AC = 15\) см.
Решение:
Дана трапеция ABCD с основаниями AB и CD (в условии указано AB || CD, но обычно основания обозначаются как AD и BC или AB и CD. Если AB || CD, то AB и CD - основания). Диагональ AC делит трапецию на два подобных треугольника. Это означает, что \(\triangle ABC \sim \triangle DCA\).
Из подобия треугольников \(\triangle ABC \sim \triangle DCA\) следуют равенства углов:
- \(\angle BAC = \angle CDA\)
- \(\angle BCA = \angle CAD\)
- \(\angle ABC = \angle DCA\)
Также из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон:
\[\frac{AB}{DC} = \frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}\]Нам даны длины сторон:
- \(AB = 25\) см
- \(BC = 20\) см
- \(AC = 15\) см
Используем отношения сторон для нахождения DC и DA.
Из \(\frac{BC}{CA} = \frac{AC}{DA}\) найдем DA:
\[\frac{20}{15} = \frac{15}{DA}\] \[\frac{4}{3} = \frac{15}{DA}\] \[4 \cdot DA = 3 \cdot 15\] \[4 \cdot DA = 45\] \[DA = \frac{45}{4} = 11.25 \text{ см}\]Из \(\frac{AB}{DC} = \frac{BC}{CA}\) найдем DC:
\[\frac{25}{DC} = \frac{20}{15}\] \[\frac{25}{DC} = \frac{4}{3}\] \[4 \cdot DC = 25 \cdot 3\] \[4 \cdot DC = 75\] \[DC = \frac{75}{4} = 18.75 \text{ см}\]Теперь у нас есть все стороны треугольников:
Для \(\triangle ABC\): \(AB = 25\), \(BC = 20\), \(AC = 15\).
Для \(\triangle DCA\): \(DC = 18.75\), \(CA = 15\), \(DA = 11.25\).
Для нахождения площади трапеции ABCD, нам нужно найти высоту трапеции. Площадь трапеции равна \(S = \frac{AB + CD}{2} \cdot h\).
Заметим, что в \(\triangle ABC\) стороны \(15, 20, 25\). Это пифагорова тройка, так как \(15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2\). Значит, \(\triangle ABC\) является прямоугольным с прямым углом при вершине C (\(\angle BCA = 90^\circ\)).
Если \(\angle BCA = 90^\circ\), то из подобия \(\triangle ABC \sim \triangle DCA\) следует, что \(\angle CAD = 90^\circ\).
Таким образом, диагональ AC перпендикулярна боковым сторонам BC и AD.
В этом случае AC является высотой трапеции, так как BC и AD являются боковыми сторонами, а AB и CD - основаниями. Но это не так, если AB и CD - основания, то AC не может быть высотой, если она перпендикулярна боковым сторонам. Высота должна быть перпендикулярна основаниям.
Давайте перепроверим условие. Если AB || CD, то AB и CD - основания. Если \(\triangle ABC \sim \triangle DCA\), то \(\angle BCA = \angle CAD\). Эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых AB и CD и секущей AC. Это означает, что AB || CD. Это согласуется с условием.
Также из подобия \(\triangle ABC \sim \triangle DCA\) следует, что \(\angle ABC = \angle DCA\). И \(\angle BAC = \angle CDA\).
Мы нашли, что \(\triangle ABC\) - прямоугольный, \(\angle BCA = 90^\circ\). Тогда \(\angle CAD = 90^\circ\).
Это означает, что AC перпендикулярна BC и AC перпендикулярна AD.
Если AC перпендикулярна BC, то BC - это боковая сторона. Если AC перпендикулярна AD, то AD - это боковая сторона.
В трапеции ABCD с основаниями AB и CD, AC является диагональю. Если \(\angle BCA = 90^\circ\), то BC перпендикулярна AC. Если \(\angle CAD = 90^\circ\), то AD перпендикулярна AC.
Это означает, что AC является высотой трапеции, если BC и AD являются боковыми сторонами, а AB и CD - основаниями. В этом случае, высота \(h = AC = 15\) см.
Площадь трапеции ABCD:
\[S_{ABCD} = \frac{AB + CD}{2} \cdot AC\] \[S_{ABCD} = \frac{25 + 18.75}{2} \cdot 15\] \[S_{ABCD} = \frac{43.75}{2} \cdot 15\] \[S_{ABCD} = 21.875 \cdot 15\] \[S_{ABCD} = 328.125 \text{ см}^2\]Ответ: Площадь трапеции ABCD равна \(328.125\) см\(^2\).