Решение задачи на подобие треугольников

Задача 1.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁.

∠C = ∠C₁ = 90°.

∠A = ∠A₁.

AC = 5 см.

AB = 15 см.

A₁C₁ = 8 см.

Найти: A₁B₁.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔABC и ΔA₁B₁C₁.

2. У нас дано, что ∠C = ∠C₁ = 90°, то есть оба треугольника прямоугольные.

3. Также дано, что ∠A = ∠A₁.

4. Если в двух прямоугольных треугольниках равны острые углы, то такие треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам, так как третий угол ∠B = 90° - ∠A и ∠B₁ = 90° - ∠A₁, следовательно ∠B = ∠B₁).

5. Из подобия треугольников ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁ следует, что отношения соответствующих сторон равны:

\[ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \]

6. Подставим известные значения в отношение:

\[ \frac{5}{8} = \frac{15}{A_1B_1} \]

7. Чтобы найти A₁B₁, используем пропорцию:

\[ 5 \cdot A_1B_1 = 8 \cdot 15 \]

\[ 5 \cdot A_1B_1 = 120 \]

\[ A_1B_1 = \frac{120}{5} \]

\[ A_1B_1 = 24 \text{ см} \]

Ответ: A₁B₁ = 24 см.