Задача 17. Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 3 и 12.
Дано:
- Трапеция ABCD – равнобедренная.
- AD – большее основание, BC – меньшее основание.
- AD = 12
- BC = 3
- Диагональ AC образует с основанием AD угол \( \angle CAD = 45^\circ \).
Найти: Высоту трапеции h.
Решение:
1. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C к большему основанию AD. Так как трапеция равнобедренная, то:
\[AK = HD = \frac{AD - BC}{2}\]
\[AK = HD = \frac{12 - 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. В нем CK – высота, KD = 4,5.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. В нем CK – высота, AK = 4,5.
Мы знаем, что \( \angle CAD = 45^\circ \). Это угол между диагональю AC и основанием AD.
4. В прямоугольном треугольнике ACK:
Тангенс угла \( \angle CAD \) (или \( \angle CAK \)) равен отношению противолежащего катета CK к прилежащему катету AK.
\[\tan(\angle CAK) = \frac{CK}{AK}\]
Мы знаем \( \angle CAK = 45^\circ \) и \( AK = 4,5 \).
\[\tan(45^\circ) = \frac{CK}{4,5}\]
5. Известно, что \( \tan(45^\circ) = 1 \).
\[1 = \frac{CK}{4,5}\]
6. Отсюда найдем высоту CK:
\[CK = 1 \times 4,5\]
\[CK = 4,5\]
Высота трапеции h = CK.
Значит, h = 4,5.
Ответ: 4,5