Задача №5
В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC), в котором ∠ABC=57°, отмечена середина D стороны BC. На отрезке AD выбрана точка P, а на стороне AB – точка Q так, что PQ=PC. Найдите градусную меру угла PQC.
Решение:
1. Анализ условий:
- Треугольник ABC равнобедренный, AB = AC.
- Угол ∠ABC = 57°.
- D – середина стороны BC.
- P лежит на AD.
- Q лежит на AB.
- PQ = PC.
2. Свойства равнобедренного треугольника:
Так как треугольник ABC равнобедренный с AB = AC, то углы при основании равны:
∠ABC = ∠ACB = 57°.
Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:
∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - (57° + 57°) = 180° - 114° = 66°.
3. Свойства медианы в равнобедренном треугольнике:
AD – медиана, проведенная к основанию BC в равнобедренном треугольнике ABC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
Значит, AD ⊥ BC, то есть ∠ADB = 90°.
И AD является биссектрисой угла ∠BAC, поэтому:
∠BAD = ∠CAD = ∠BAC / 2 = 66° / 2 = 33°.
4. Рассмотрим треугольник PQC:
По условию, PQ = PC. Это означает, что треугольник PQC равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть ∠PQC = ∠PCQ = x.
5. Рассмотрим треугольник PDC:
У нас есть точка P на AD и точка C. Соединим их. Рассмотрим треугольник PDC.
Мы знаем, что ∠PDC = ∠ADC = 90° (так как AD ⊥ BC).
6. Дополнительные построения и свойства:
Рассмотрим точку P. По условию PQ = PC. Это ключевое условие.
Поскольку AD является высотой и медианой, треугольник ABC симметричен относительно AD.
Рассмотрим треугольник ADC. ∠DAC = 33°, ∠ACD = 57°, ∠ADC = 90°.
7. Использование условия PQ = PC:
Точка P лежит на AD. Точка Q лежит на AB.
Рассмотрим треугольник QPC. Он равнобедренный с PQ = PC.
Это означает, что точка P равноудалена от точек Q и C.
8. Построим окружность:
Если PQ = PC, то точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку QC.
9. Альтернативный подход:
Рассмотрим треугольник QPC. ∠PQC = ∠PCQ.
Пусть ∠PQC = ∠PCQ = α.
Тогда ∠QPC = 180° - 2α.
Рассмотрим углы, связанные с точкой C.
∠ACB = 57°.
∠PCQ = α.
Значит, ∠PCB = ∠ACB - ∠PCQ = 57° - α.
Рассмотрим треугольник PDC. Он прямоугольный (∠PDC = 90°).
∠DPC = 90° - ∠PCD = 90° - (57° - α) = 33° + α.
Теперь рассмотрим угол ∠QPC.
∠QPC = ∠QPD + ∠DPC.
Это не очень удобно, так как ∠QPD неизвестен.
10. Используем свойство медианы AD:
AD является осью симметрии для треугольника ABC. Точка P лежит на AD.
Если бы точка Q лежала на AC, то PQ = PC означало бы, что Q и C симметричны относительно AD, что не так.
11. Рассмотрим треугольник QPC.
PQ = PC. Пусть ∠PQC = ∠PCQ = x.
Рассмотрим треугольник ADC. ∠DAC = 33°, ∠ACD = 57°, ∠ADC = 90°.
Рассмотрим треугольник ADB. ∠DAB = 33°, ∠ABD = 57°, ∠ADB = 90°.
12. Ключевое наблюдение:
Поскольку AD является биссектрисой угла BAC и высотой, то треугольник ABC симметричен относительно AD.
Точка P лежит на AD.
Если PQ = PC, то точка P равноудалена от Q и C.
Рассмотрим отражение точки Q относительно прямой AD. Пусть это будет точка Q'.
Тогда Q' лежит на AC.
Расстояние от P до Q равно расстоянию от P до Q'. То есть PQ = PQ'.
Из условия PQ = PC, следует, что PQ' = PC.
Это означает, что треугольник PQ'C равнобедренный с PQ' = PC.
Точка Q' лежит на AC.
13. Рассмотрим углы:
∠QAD = ∠Q'AD (из-за симметрии).
∠Q'AC = ∠QAC.
∠QAC = ∠BAC - ∠QAB = 66° - ∠QAB.
Это усложняет. Давайте вернемся к более простому подходу.
14. Используем углы:
Пусть ∠PQC = x.
Тогда ∠PCQ = x (так как ΔPQC равнобедренный).
Мы знаем ∠ACB = 57°.
Значит, ∠PCD = ∠ACB - ∠PCQ = 57° - x.
В прямоугольном треугольнике PDC (∠PDC = 90°):
∠DPC = 90° - ∠PCD = 90° - (57° - x) = 90° - 57° + x = 33° + x.
Теперь рассмотрим треугольник APQ.
∠PAQ = ∠DAB = 33°.
Угол ∠APQ = ∠DPC (как вертикальные углы, если P находится между A и D, и Q находится на AB, а C на BC). Но P находится на отрезке AD, а Q на AB. Это не вертикальные углы.
15. Рассмотрим внешний угол для треугольника APQ:
Угол ∠PQC является внешним углом для треугольника AQC, если Q находится между A и B.
∠PQC = ∠QAC + ∠ACQ.
Это неверно. ∠PQC - это угол в треугольнике PQC.
16. Вернемся к ΔPQC равнобедренному.
∠PQC = ∠PCQ = x.
Рассмотрим ΔADC. ∠DAC = 33°, ∠ACD = 57°, ∠ADC = 90°.
Рассмотрим ΔADB. ∠DAB = 33°, ∠ABD = 57°, ∠ADB = 90°.
17. Построим точку C' на AB такую, что AC' = AC.
Это не поможет.
18. Рассмотрим треугольник QBC.
∠QBC = 57°.
19. Используем свойство точки P на AD.
AD - биссектриса угла BAC. ∠BAD = ∠CAD = 33°.
Пусть ∠APQ = β.
В ΔAPQ: ∠AQP = 180° - ∠PAQ - ∠APQ = 180° - 33° - β = 147° - β.
20. Рассмотрим углы вокруг точки P.
∠QPC = 180° - 2x.
∠DPC = 33° + x.
∠QPD = ∠QPC - ∠DPC = (180° - 2x) - (33° + x) = 147° - 3x.
В ΔQPD:
∠PQD = 180° - ∠QPD - ∠QDP = 180° - (147° - 3x) - 90° = 180° - 147° + 3x - 90° = -57° + 3x.
Это не может быть отрицательным, значит, ∠QPD не может быть таким.
Это означает, что ∠QPD может быть внешним углом или P находится между Q и D.
21. Пересмотрим расположение углов.
∠PQC = x.
∠PCQ = x.
∠ACB = 57°.
∠PCD = ∠ACB - ∠PCQ = 57° - x.
В прямоугольном ΔPDC (∠PDC = 90°):
∠DPC = 90° - ∠PCD = 90° - (57° - x) = 33° + x.
Теперь рассмотрим ΔAPQ.
∠PAQ = ∠DAB = 33°.
Угол ∠APQ является смежным с ∠DPC, если Q находится на продолжении AP, но Q на AB.
Угол ∠APQ и ∠DPC - это углы в разных треугольниках.
22. Рассмотрим внешний угол для ΔPQC.
Внешний угол при вершине P для ΔPQC равен ∠QPC_ext = ∠PQC + ∠PCQ = x + x = 2x.
Этот внешний угол ∠QPC_ext - это угол, смежный с ∠QPC.
23. Рассмотрим ΔAQC.
∠QAC = 33°.
∠ACQ = ∠ACB - ∠QCB = 57° - ∠QCB.
Это не помогает.
24. Попробуем использовать свойство точки P на биссектрисе AD.
Если P лежит на биссектрисе угла BAC, то P равноудалена от сторон AB и AC.
Пусть PK ⊥ AB и PL ⊥ AC. Тогда PK = PL.
Это не связано напрямую с PQ = PC.
25. Вернемся к ∠DPC = 33° + x.
Угол ∠APD = 180° - ∠DPC = 180° - (33° + x) = 147° - x.
В ΔAPQ:
∠PAQ = 33°.
∠APQ = ∠APD = 147° - x (так как Q лежит на AB, а P на AD).
Тогда ∠AQP = 180° - ∠PAQ - ∠APQ = 180° - 33° - (147° - x) = 180° - 33° - 147° + x = x.
Итак, мы получили, что ∠AQP = x.
Но ∠PQC = x (по нашему обозначению).
Значит, ∠AQP = ∠PQC.
Это означает, что Q лежит на биссектрисе угла APC.
Но это не обязательно так.
26. Давайте проверим еще раз.
∠PQC = x.
∠PCQ = x.
∠PCD = 57° - x.
В ΔPDC (прямоугольный): ∠DPC = 90° - (57° - x) = 33° + x.
Угол ∠APQ является смежным с ∠QPD, если P находится между A и D.
Угол ∠APQ и ∠DPC - это углы, которые лежат на одной прямой AD.
∠APD = 180° - ∠DPC = 180° - (33° + x) = 147° - x.
В ΔAPQ:
∠PAQ = 33°.
∠APQ = ∠APD = 147° - x.
∠AQP = 180° - ∠PAQ - ∠APQ = 180° - 33° - (147° - x) = 180° - 33° - 147° + x = x.
Итак, мы получили, что ∠AQP = x.
Мы ищем ∠PQC, который мы обозначили как x.
Значит, ∠AQP = ∠PQC = x.
27. Что это означает?
Угол ∠AQP - это часть угла ∠AQB.
Угол ∠PQC - это угол в ΔPQC.
Если ∠AQP = x и ∠PQC = x, то это означает, что прямая QP является биссектрисой угла AQC.
Это не дает нам числового значения x.
28. Рассмотрим треугольник QBC.
∠QBC = 57°.
∠BCQ = ∠BCD - ∠PCD = 57° - (57° - x) = x.
Значит, ∠BCQ = x.
В ΔQBC:
∠BQC = 180° - ∠QBC - ∠BCQ = 180° - 57° - x = 123° - x.
29. Теперь у нас есть два выражения для угла, связанного с Q.
∠AQP = x.
∠BQC = 123° - x.
Углы ∠AQP, ∠PQC, ∠CQB образуют угол ∠AQB, если Q находится на AB.
Но ∠AQB - это просто ∠AQB.
Углы ∠AQP и ∠PQC не являются смежными или вертикальными.
30. Рассмотрим прямую AB.
Точка Q лежит на AB.
Угол ∠AQD = ∠AQP + ∠PQD.
Это не помогает.
31. Давайте еще раз внимательно посмотрим на ∠AQP = x.
И ∠PQC = x.
Это означает, что ΔAQC является равнобедренным с AQ = AC, если P лежит на биссектрисе угла AQC.
Но это не так.
32. Попробуем другой подход.
Пусть ∠PQC = x.
Тогда ∠PCQ = x.
∠ACB = 57°.
∠PCD = 57° - x.
В ΔPDC (прямоугольный): ∠DPC = 90° - (57° - x) = 33° + x.
В ΔAPQ:
∠PAQ = 33°.
∠APQ = 180° - ∠DPC = 180° - (33° + x) = 147° - x.
∠AQP = 180° - 33° - (147° - x) = x.
Итак, мы имеем ∠AQP = x.
Теперь рассмотрим ΔQBC.
∠QBC = 57°.
∠BCQ = ∠ACB - ∠ACQ = 57° - ∠ACQ.
∠ACQ = ∠PCD + ∠PCQ = (57° - x) + x = 57°.
Это неверно. ∠ACQ - это часть ∠ACB.
∠ACQ = ∠PCQ = x.
Тогда ∠BCQ = ∠ACB - ∠ACQ = 57° - x.
В ΔQBC:
∠BQC = 180° - ∠QBC - ∠BCQ = 180° - 57° - (57° - x) = 180° - 114° + x = 66° + x.
Теперь у нас есть два выражения для углов, связанных с Q на прямой AB:
∠AQP = x.
∠BQC = 66° + x.
Углы ∠AQP, ∠PQC, ∠CQB не образуют прямую линию.
Углы ∠AQP и ∠BQC - это углы в разных треугольниках.
33. Рассмотрим углы на прямой AB.
∠AQB - это угол, который мы можем выразить.
∠AQB = ∠AQP + ∠PQB.
Это не помогает.
34. Попробуем использовать теорему синусов или косинусов.
Это слишком сложно для школьной задачи.
35. Вернемся к ∠AQP = x и ∠PQC = x.
Это означает, что ΔAQC имеет ∠AQC = ∠AQP + ∠PQC = x + x = 2x.
В ΔAQC:
∠QAC = 33°.
∠ACQ = ∠ACB - ∠BCQ = 57° - (57° - x) = x.
Значит, ∠ACQ = x.
Сумма углов в ΔAQC:
∠QAC + ∠ACQ + ∠AQC = 180°.
33° + x + 2x = 180°.
33° + 3x = 180°.
3x = 180° - 33°.
3x = 147°.
x = 147° / 3.
x = 49°.
36. Проверим все шаги.
1. ΔABC: AB=AC, ∠ABC=57°. ∠ACB=57°. ∠BAC=180°-2*57°=66°.
2. AD - медиана к основанию BC, значит, AD - высота и биссектриса.
3. ∠ADC=90°.
4. ∠CAD = ∠BAD = ∠BAC/2 = 66°/2 = 33°.
5. По условию PQ=PC, значит ΔPQC равнобедренный. Пусть ∠PQC = ∠PCQ = x.
6. Рассмотрим ΔPDC. ∠PDC=90°.
7. ∠PCD = ∠ACB - ∠PCQ = 57° - x.
8. В ΔPDC: ∠DPC = 90° - ∠PCD = 90° - (57° - x) = 33° + x.
9. Точка P лежит на AD. Угол ∠APQ является смежным с ∠QPD, но ∠APQ и ∠DPC - это углы, которые лежат на одной прямой AD.
10. ∠APQ = 180° - ∠DPC = 180° - (33° + x) = 147° - x.
11. Рассмотрим ΔAPQ.
12. ∠PAQ = ∠BAD = 33°.
13. ∠AQP = 180° - ∠PAQ - ∠APQ = 180° - 33° - (147° - x) = 180° - 33° - 147° + x = x.
14. Итак, мы получили ∠AQP = x.
15. Теперь рассмотрим ΔAQC.
16. ∠QAC = ∠BAD = 33°.
17. ∠ACQ = ∠PCQ = x (так как P лежит на AD, а Q на AB, C - вершина).
18. ∠AQC = ∠AQP + ∠PQC = x + x = 2x.
19. Сумма углов в ΔAQC: ∠QAC + ∠ACQ + ∠AQC = 180°.
20. 33° + x + 2x = 180°.
21. 33° + 3x = 180°.
22. 3x = 147°.
23. x = 49°.
Все шаги логичны и последовательны. Полученный результат является корректным.
Ответ: 49