Задача 21. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 96 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 20 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Дано:
- Скорость поезда \(v_п = 96 \, \text{км/ч}\)
- Скорость пешехода \(v_{пеш} = 3 \, \text{км/ч}\)
- Время прохождения \(t = 20 \, \text{с}\)
Найти: Длину поезда \(L\) в метрах.
Решение:
1. Определим относительную скорость поезда относительно пешехода. Поскольку поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.
\[v_{отн} = v_п + v_{пеш}\]
\[v_{отн} = 96 \, \text{км/ч} + 3 \, \text{км/ч}\]
\[v_{отн} = 99 \, \text{км/ч}\]
2. Переведем относительную скорость из км/ч в м/с, так как время дано в секундах, а длину нужно найти в метрах. Для этого умножим скорость на \(\frac{1000}{3600}\) (или на \(\frac{5}{18}\)).
\[v_{отн} = 99 \, \text{км/ч} \times \frac{1000 \, \text{м}}{1 \, \text{км}} \times \frac{1 \, \text{ч}}{3600 \, \text{с}}\]
\[v_{отн} = 99 \times \frac{1000}{3600} \, \text{м/с}\]
\[v_{отн} = 99 \times \frac{10}{36} \, \text{м/с}\]
\[v_{отн} = 11 \times \frac{10}{4} \, \text{м/с}\]
\[v_{отн} = 11 \times 2,5 \, \text{м/с}\]
\[v_{отн} = 27,5 \, \text{м/с}\]
3. Длина поезда равна расстоянию, которое поезд проходит относительно пешехода за данное время.
\[L = v_{отн} \times t\]
\[L = 27,5 \, \text{м/с} \times 20 \, \text{с}\]
\[L = 550 \, \text{м}\]
Ответ: 550
Задача 22. Постройте график функции \(y = |x^2 + 6x + 5|\). Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?
Решение:
1. Сначала построим график функции \(y = x^2 + 6x + 5\).
Это парабола. Найдем координаты вершины параболы:
\[x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times 1} = -3\]
\[y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\]
Вершина параболы находится в точке \((-3; -4)\).
Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (когда \(y = 0\)):
\[x^2 + 6x + 5 = 0\]
Используем формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):
\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1}\]
\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}\]
\[x = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{2}\]
\[x = \frac{-6 \pm 4}{2}\]
\[x_1 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]
\[x_2 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
Точки пересечения с осью абсцисс: \((-5; 0)\) и \((-1; 0)\).
2. Теперь построим график функции \(y = |x^2 + 6x + 5|\).
Модуль означает, что все отрицательные значения \(y\) функции \(y = x^2 + 6x + 5\) отражаются симметрично относительно оси абсцисс. Часть графика, которая находится выше оси абсцисс (или на ней), остается без изменений.
Вершина параболы \(y = x^2 + 6x + 5\) находится в \((-3; -4)\). После применения модуля эта точка отразится в \((-3; 4)\).
График будет выглядеть как парабола, "перевернутая" нижней частью вверх. Он будет иметь две "впадины" (минимумы) на оси абсцисс в точках \((-5; 0)\) и \((-1; 0)\), и одну "вершину" (максимум) в точке \((-3; 4)\).
3. Найдем наибольшее число общих точек графика данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс.
Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение \(y = k\), где \(k\) – некоторое число.
- Если \(k < 0\), прямая не будет иметь общих точек с графиком, так как \(y = |x^2 + 6x + 5|\) всегда неотрицательна.
- Если \(k = 0\), прямая \(y = 0\) (ось абсцисс) имеет 2 общие точки с графиком (это \((-5; 0)\) и \((-1; 0)\)).
- Если \(0 < k < 4\), прямая \(y = k\) будет пересекать график в 4 точках. Например, прямая \(y = 1\) пересечет график в 4 точках.
- Если \(k = 4\), прямая \(y = 4\) будет касаться "вершины" графика в точке \((-3; 4)\) и пересекать его еще в двух точках, то есть всего 3 общие точки.
- Если \(k > 4\), прямая \(y = k\) будет пересекать график в 2 точках.
Наибольшее число общих точек достигается, когда прямая \(y = k\) проходит между осью абсцисс и отраженной вершиной параболы (то есть при \(0 < k < 4\)). В этом случае прямая пересекает график в 4 точках.
Ответ: 4