Как исследовать функцию на монотонность и экстремумы?

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
10. Опишите последовательность своих действий, если вам нужно исследовать функцию на монотонность и экстремумы.
    Для исследования функции на монотонность и экстремумы с помощью производной, нужно выполнить следующие действия:
    1. Найти область определения функции.     2. Найти первую производную функции \(f'(x)\).     3. Приравнять первую производную к нулю \(f'(x) = 0\) и найти критические точки (стационарные точки). Также найти точки, в которых производная не существует.     4. Отметить критические точки на числовой прямой, разбив её на интервалы.     5. Определить знак производной \(f'(x)\) на каждом из полученных интервалов.         * Если \(f'(x) > 0\) на интервале, то функция возрастает на этом интервале.         * Если \(f'(x) < 0\) на интервале, то функция убывает на этом интервале.     6. Определить экстремумы функции:         * Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.         * Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.         * Если знак производной не меняется, то экстремума нет.     7. Вычислить значения функции в точках экстремума.
11. Исследуйте функцию \[ y = \begin{cases} x^2, & x < 1, \\ 2 - x, & x \ge 1. \end{cases} \] Нужно ли в данном случае прибегать к помощи производной?
    Да, в данном случае нужно прибегать к помощи производной для полного исследования функции на монотонность и экстремумы.
    Решение:
    Функция задана кусочно. Рассмотрим каждую часть отдельно.
    1. Область определения функции: \(x \in (-\infty, +\infty)\).
    2. Найдем производную для каждой части:         * Для \(x < 1\): \(y = x^2\), тогда \(y' = (x^2)' = 2x\).         * Для \(x > 1\): \(y = 2 - x\), тогда \(y' = (2 - x)' = -1\).
    3. Исследуем поведение функции в точке \(x = 1\).         * Значение функции в точке \(x = 1\): \(y(1) = 2 - 1 = 1\).         * Предел функции при \(x \to 1^-\): \(\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1^2 = 1\).         * Предел функции при \(x \to 1^+\): \(\lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1\).         Так как \(\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^+} y(x) = y(1)\), функция непрерывна в точке \(x = 1\).
    4. Найдем критические точки.         * Для \(x < 1\): \(y' = 2x\). Приравняем к нулю: \(2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Эта точка \(x = 0\) находится в интервале \(x < 1\).         * Для \(x > 1\): \(y' = -1\). Производная не равна нулю, поэтому критических точек на этом интервале нет.         * Рассмотрим точку \(x = 1\). Найдем односторонние производные:             * Левая производная: \(y'_{-}(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{y(1+h) - y(1)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{1+2h+h^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h+h^2}{h} = \lim_{h \to 0^-} (2+h) = 2\).             * Правая производная: \(y'_{+}(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{y(1+h) - y(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2-(1+h)) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1-h - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{-h}{h} = -1\).         Так как \(y'_{-}(1) \neq y'_{+}(1)\), производная в точке \(x = 1\) не существует. Следовательно, \(x = 1\) является критической точкой.
    5. Отметим критические точки \(x = 0\) и \(x = 1\) на числовой прямой и определим знаки производной на интервалах: \((-\infty, 0)\), \((0, 1)\), \((1, +\infty)\).
        * Интервал \((-\infty, 0)\): Возьмем \(x = -1\). \(y'(-1) = 2(-1) = -2 < 0\). Функция убывает.         * Интервал \((0, 1)\): Возьмем \(x = 0.5\). \(y'(0.5) = 2(0.5) = 1 > 0\). Функция возрастает.         * Интервал \((1, +\infty)\): Возьмем \(x = 2\). \(y'(2) = -1 < 0\). Функция убывает.
    6. Определим экстремумы:         * В точке \(x = 0\): производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, \(x = 0\) - точка минимума.             Значение функции в минимуме: \(y(0) = 0^2 = 0\).         * В точке \(x = 1\): производная меняет знак с плюса на минус (слева от 1 производная положительна, справа отрицательна). Значит, \(x = 1\) - точка максимума.             Значение функции в максимуме: \(y(1) = 2 - 1 = 1\).
    Вывод:     * Функция убывает на интервале \((-\infty, 0)\).     * Функция возрастает на интервале \((0, 1)\).     * Функция убывает на интервале \((1, +\infty)\).     * Точка минимума: \(x = 0\), \(y_{min} = 0\).     * Точка максимума: \(x = 1\), \(y_{max} = 1\).