Решение задачи
Дано:
\(m_2 = 2 \text{ кг}\)
\(m_3 = 2 \text{ кг}\)
\(t_1 = -10^\circ\text{C}\)
\(\eta = 12.5\% = 0.125\)
\(t_2 = 0^\circ\text{C}\)
\(t = 59^\circ\text{C}\)
\(q = 2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}\)
\(c_2 = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}\)
\(c_3 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}\)
\(\lambda = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}\) (удельная теплота плавления льда, стандартное значение)
\(m_1 - ?\)
Решение:
Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы (или полезной теплоты) к затраченной энергии (или затраченной теплоте).
В данном случае, полезная теплота \(A\) — это теплота, которая пошла на нагревание льда до 0°C, его плавление и дальнейшее нагревание воды до температуры \(t\).
Затраченная теплота \(Q_H\) — это теплота, выделившаяся при сгорании топлива.
Формула для КПД:
\[\eta = \frac{A}{Q_H}\]Полезная теплота \(A\) состоит из двух частей:
\(Q_1\) — теплота, необходимая для нагревания льда от \(t_1\) до \(t_2\) (0°C) и его плавления.
\(Q_2\) — теплота, необходимая для нагревания образовавшейся воды от \(t_2\) (0°C) до \(t\).
Таким образом, полезная теплота \(A\) равна:
\[A = Q_1 + Q_2\]Рассчитаем \(Q_1\). Она состоит из двух частей: нагревание льда и его плавление.
Теплота для нагревания льда:
\[Q_{\text{лед}} = c_2 \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_1)\] \[Q_{\text{лед}} = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (0^\circ\text{C} - (-10^\circ\text{C}))\] \[Q_{\text{лед}} = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 10^\circ\text{C} = 42000 \text{ Дж}\]Теплота для плавления льда:
\[Q_{\text{плавление}} = \lambda \cdot m_2\] \[Q_{\text{плавление}} = 3.3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 2 \text{ кг} = 6.6 \cdot 10^5 \text{ Дж} = 660000 \text{ Дж}\]Тогда \(Q_1\) равна:
\[Q_1 = Q_{\text{лед}} + Q_{\text{плавление}} = 42000 \text{ Дж} + 660000 \text{ Дж} = 702000 \text{ Дж}\]Рассчитаем \(Q_2\) — теплоту для нагревания воды от \(t_2\) до \(t\). Масса воды после плавления льда равна \(m_3\).
\[Q_2 = c_3 \cdot m_3 \cdot (t - t_2)\] \[Q_2 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (59^\circ\text{C} - 0^\circ\text{C})\] \[Q_2 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 59^\circ\text{C} = 495600 \text{ Дж}\]Теперь найдем общую полезную теплоту \(A\):
\[A = Q_1 + Q_2 = 702000 \text{ Дж} + 495600 \text{ Дж} = 1197600 \text{ Дж}\]Затраченная теплота \(Q_H\) выделяется при сгорании топлива массой \(m_1\):
\[Q_H = q \cdot m_1\]Из формулы КПД выразим \(Q_H\):
\[Q_H = \frac{A}{\eta}\] \[Q_H = \frac{1197600 \text{ Дж}}{0.125} = 9580800 \text{ Дж}\]Теперь найдем массу топлива \(m_1\):
\[m_1 = \frac{Q_H}{q}\] \[m_1 = \frac{9580800 \text{ Дж}}{2.7 \cdot 10^7 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}\] \[m_1 = \frac{9580800}{27000000} \text{ кг} \approx 0.3548 \text{ кг}\]Округлим до сотых:
\[m_1 \approx 0.35 \text{ кг}\]Ответ:
Масса топлива \(m_1\) составляет примерно 0.35 кг.