Задача 5. Печь снабжена кожухом вокруг дверцы топки. Верхняя часть кожуха выполнена в виде арки, приваренной к передней стенке печки по дуге окружности с центром в середине нижней части кожуха (см. рис. 2). Для установки печки хозяину понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах.
Решение:
1. Рассмотрим рисунок 2. Кожух имеет форму прямоугольника с вырезанной аркой сверху. Центр окружности, дугой которой является арка, находится в середине нижней части кожуха.
2. Обозначим центр окружности как точку O. Пусть нижняя часть кожуха лежит на оси X, а середина нижней части - это начало координат (0,0).
3. Ширина кожуха составляет 40 см. Значит, от центра O до боковых стенок кожуха расстояние равно \(40 \div 2 = 20\) см.
4. Высота кожуха до начала арки (до точки, где начинается закругление) не указана явно, но общая высота кожуха до верхней точки арки составляет 48 см.
5. Пусть радиус арки равен R. Тогда точка O является центром окружности. Верхняя точка арки находится на расстоянии R от центра O. Боковые верхние углы кожуха также находятся на окружности радиуса R.
6. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром O, точкой на верхнем углу кожуха (например, правой верхней точкой, где начинается арка) и проекцией этой точки на горизонтальную линию, проходящую через O.
Расстояние от центра O до боковой стенки кожуха (горизонтальный катет) равно 20 см.
Высота от центра O до верхней точки арки равна R.
Высота от центра O до верхней точки боковой стенки кожуха (вертикальный катет) равна \(48 - R\).
Гипотенуза этого прямоугольного треугольника - это радиус R, соединяющий центр O с верхним углом кожуха.
7. Применим теорему Пифагора:
\[R^2 = 20^2 + (48 - R)^2\]
\[R^2 = 400 + (48^2 - 2 \times 48 \times R + R^2)\]
\[R^2 = 400 + (2304 - 96R + R^2)\]
\[R^2 = 400 + 2304 - 96R + R^2\]
8. Вычтем \(R^2\) из обеих частей уравнения:
\[0 = 400 + 2304 - 96R\]
\[0 = 2704 - 96R\]
9. Перенесем \(96R\) в левую часть:
\[96R = 2704\]
10. Найдем R:
\[R = \frac{2704}{96}\]
\[R = \frac{676}{24}\]
\[R = \frac{338}{12}\]
\[R = \frac{169}{6}\]
\[R = 28,166...\]
Обычно в таких задачах ожидается целое или конечное десятичное число. Проверим расчеты.
Перечитаем условие: "центром в середине нижней части кожуха". Это означает, что центр окружности находится на нижней стороне кожуха, посередине. Пусть ширина кожуха 40 см. Тогда расстояние от центра до боковой стенки 20 см. Высота кожуха 48 см. Радиус R - это расстояние от центра до любой точки на дуге. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром O, точкой на верхнем углу кожуха (где начинается дуга) и проекцией этой точки на вертикальную линию, проходящую через центр O. Нет, это не так. Центр O находится на нижней стороне. Верхний левый угол кожуха имеет координаты \((-20, 48)\) относительно центра O. Верхний правый угол кожуха имеет координаты \((20, 48)\) относительно центра O. Эти точки лежат на окружности радиуса R с центром в \((0,0)\).
Тогда по теореме Пифагора:
\[R^2 = 20^2 + 48^2\]
\[R^2 = 400 + 2304\]
\[R^2 = 2704\]
\[R = \sqrt{2704}\]
\[R = 52\]
Ответ: 52
Задача 6. Найдите значение выражения \( \frac{1}{\frac{1}{12} - \frac{1}{21}} \).
Решение:
1. Сначала выполним вычитание в знаменателе:
\[\frac{1}{12} - \frac{1}{21}\]
Найдем общий знаменатель для 12 и 21. Наименьшее общее кратное (НОК) для 12 и 21.
\(12 = 3 \times 4\)
\(21 = 3 \times 7\)
НОК(12, 21) = \(3 \times 4 \times 7 = 84\).
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[\frac{1}{12} = \frac{1 \times 7}{12 \times 7} = \frac{7}{84}\]
\[\frac{1}{21} = \frac{1 \times 4}{21 \times 4} = \frac{4}{84}\]
Теперь вычтем дроби:
\[\frac{7}{84} - \frac{4}{84} = \frac{7 - 4}{84} = \frac{3}{84}\]
Сократим дробь \(\frac{3}{84}\):
\[\frac{3}{84} = \frac{1}{28}\]
2. Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
\[\frac{1}{\frac{1}{28}}\]
Деление на дробь равно умножению на обратную дробь:
\[1 \div \frac{1}{28} = 1 \times 28 = 28\]
Ответ: 28
Задача 7. На координатной прямой отмечены числа p, r и q. Какая из разностей q - p, q - r, p - r положительна? В ответе укажите номер верного варианта.
Решение:
Посмотрим на координатную прямую. Числа расположены в следующем порядке слева направо:
q, r, p
Это означает, что \(q < r < p\).
Теперь проанализируем каждую разность:
1) \(q - p\): Поскольку \(q < p\), то \(q - p\) будет отрицательным числом.
2) \(q - r\): Поскольку \(q < r\), то \(q - r\) будет отрицательным числом.
3) \(p - r\): Поскольку \(p > r\), то \(p - r\) будет положительным числом.
Таким образом, положительной является разность \(p - r\).
Ответ: 3
Задача 8. Найдите значение выражения \( \frac{1}{6+\sqrt{34}} + \frac{1}{6-\sqrt{34}} \).
Решение:
1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей, так как они являются сопряженными выражениями.
\[\frac{1}{6+\sqrt{34}} + \frac{1}{6-\sqrt{34}} = \frac{1 \times (6-\sqrt{34})}{(6+\sqrt{34})(6-\sqrt{34})} + \frac{1 \times (6+\sqrt{34})}{(6-\sqrt{34})(6+\sqrt{34})}\]
\[= \frac{6-\sqrt{34} + 6+\sqrt{34}}{(6+\sqrt{34})(6-\sqrt{34})}\]
2. Упростим числитель:
\[6 - \sqrt{34} + 6 + \sqrt{34} = 6 + 6 = 12\]
3. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
\[(6+\sqrt{34})(6-\sqrt{34}) = 6^2 - (\sqrt{34})^2\]
\[= 36 - 34\]
\[= 2\]
4. Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:
\[\frac{12}{2} = 6\]
Ответ: 6
Задача 9. Решите уравнение \(x^2 + 19x + 88 = 0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Решение:
Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=19\), \(c=88\).
Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\):
\[D = 19^2 - 4 \times 1 \times 88\]
\[D = 361 - 352\]
\[D = 9\]
Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[x_1 = \frac{-19 - \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{-19 - 3}{2} = \frac{-22}{2} = -11\]
\[x_2 = \frac{-19 + \sqrt{9}}{2 \times 1} = \frac{-19 + 3}{2} = \frac{-16}{2} = -8\]
Уравнение имеет два корня: \(-11\) и \(-8\).
Больший из корней: \(-8\).
Ответ: -8
Задача 10. В среднем из 220 карманных фонариков, поступивших в продажу, одиннадцать неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение:
1. Определим общее количество фонариков:
Общее количество фонариков = 220
2. Определим количество неисправных фонариков:
Количество неисправных фонариков = 11
3. Найдем количество исправных фонариков:
Количество исправных фонариков = Общее количество фонариков - Количество неисправных фонариков
Количество исправных фонариков = 220 - 11 = 209
4. Вероятность события (P) вычисляется как отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:
\[P(\text{исправен}) = \frac{\text{количество исправных фонариков}}{\text{общее количество фонариков}}\]
\[P(\text{исправен}) = \frac{209}{220}\]
5. Выполним деление:
\[209 \div 220 = 0,95\]
Ответ: 0,95
Задача 11. На рисунке изображены графики функций вида \(y = kx + b\). Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.
Решение:
Для функции \(y = kx + b\):
- Коэффициент \(k\) определяет наклон прямой:
- Если \(k > 0\), прямая возрастает (идет вверх слева направо).
- Если \(k < 0\), прямая убывает (идет вниз слева направо).
- Коэффициент \(b\) определяет точку пересечения прямой с осью Y:
- Если \(b > 0\), прямая пересекает ось Y выше начала координат.
- Если \(b < 0\), прямая пересекает ось Y ниже начала координат.
- Если \(b = 0\), прямая проходит через начало координат.
Рассмотрим каждый график:
График 1:
- Прямая убывает (идет вниз слева направо), значит \(k < 0\).
- Прямая пересекает ось Y выше начала координат, значит \(b > 0\).
- Соответствует варианту А) \(k < 0, b > 0\).
График 2:
- Прямая возрастает (идет вверх слева направо), значит \(k > 0\).
- Прямая пересекает ось Y ниже начала координат, значит \(b < 0\).
- Соответствует варианту Б) \(k > 0, b < 0\).
График 3:
- Прямая убывает (идет вниз слева направо), значит \(k < 0\).
- Прямая пересекает ось Y ниже начала координат, значит \(b < 0\).
- Соответствует варианту В) \(k < 0, b < 0\).
Заполним таблицу:
| А | Б | В |
| 1 | 2 | 3 |
Ответ: 123