Решим неравенство:
\[ \frac{(x-4)(x-10)}{x+12} > 0 \]
Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя:
\( x-4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
\( x-10 = 0 \Rightarrow x = 10 \)
Нули знаменателя:
\( x+12 = 0 \Rightarrow x = -12 \)
Шаг 2: Отметим найденные точки на числовой прямой.
Точки: -12, 4, 10.
Важно: Точка \( x = -12 \) является "выколотой" (не включается в решение), так как знаменатель не может быть равен нулю.
Точки \( x = 4 \) и \( x = 10 \) также являются "выколотыми", так как неравенство строгое (больше нуля, а не больше или равно нулю).
Числовая прямая с отмеченными точками:
---(-12)---(4)---(10)---
Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:
1) \( (-\infty; -12) \)
2) \( (-12; 4) \)
3) \( (4; 10) \)
4) \( (10; +\infty) \)
Шаг 3: Определим знак выражения \( \frac{(x-4)(x-10)}{x+12} \) на каждом интервале.
Возьмем пробное значение из каждого интервала:
Интервал 1: \( (-\infty; -12) \)
Возьмем \( x = -13 \):
\[ \frac{(-13-4)(-13-10)}{-13+12} = \frac{(-17)(-23)}{-1} = \frac{391}{-1} = -391 \]
Знак: минус ( \( < 0 \) )
Интервал 2: \( (-12; 4) \)
Возьмем \( x = 0 \):
\[ \frac{(0-4)(0-10)}{0+12} = \frac{(-4)(-10)}{12} = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} \]
Знак: плюс ( \( > 0 \) )
Интервал 3: \( (4; 10) \)
Возьмем \( x = 5 \):
\[ \frac{(5-4)(5-10)}{5+12} = \frac{(1)(-5)}{17} = \frac{-5}{17} \]
Знак: минус ( \( < 0 \) )
Интервал 4: \( (10; +\infty) \)
Возьмем \( x = 11 \):
\[ \frac{(11-4)(11-10)}{11+12} = \frac{(7)(1)}{23} = \frac{7}{23} \]
Знак: плюс ( \( > 0 \) )
Шаг 4: Запишем интервалы, где выражение больше нуля.
Нам нужны интервалы, где знак "плюс". Это интервалы:
\( (-12; 4) \)
\( (10; +\infty) \)
Шаг 5: Запишем ответ.
Объединяем эти интервалы с помощью знака объединения.
Ответ:
\[ x \in (-12; 4) \cup (10; +\infty) \]