Задача 12. В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле \(C = 6500 + 4000 \cdot n\), где \(n\) – число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 8 колец.
Дано:
- Формула стоимости колодца: \(C = 6500 + 4000 \cdot n\)
- Количество колец \(n = 8\)
Найти: Стоимость колодца \(C\).
Решение:
Подставим значение \(n = 8\) в формулу:
\[C = 6500 + 4000 \cdot 8\]
Сначала выполним умножение:
\[4000 \cdot 8 = 32000\]
Теперь выполним сложение:
\[C = 6500 + 32000\]
\[C = 38500\]
Стоимость колодца из 8 колец составляет 38500 рублей.
Ответ: 38500
Задача 13. Укажите решение неравенства \((x-1)(x+12) < 0\).
1) \((-\infty; 1)\)
2) \((-\infty; -12) \cup (1; +\infty)\)
3) \((-\infty; -12)\)
4) \((-12; 1)\)
Решение:
1. Найдем корни уравнения \((x-1)(x+12) = 0\).
\[x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1\]
\[x + 12 = 0 \Rightarrow x_2 = -12\]
2. Отметим эти корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: \((-\infty; -12)\), \((-12; 1)\), \((1; +\infty)\).
3. Определим знак выражения \((x-1)(x+12)\) на каждом интервале.
- Интервал \((-\infty; -12)\): Возьмем тестовое значение, например, \(x = -13\).
- Интервал \((-12; 1)\): Возьмем тестовое значение, например, \(x = 0\).
- Интервал \((1; +\infty)\): Возьмем тестовое значение, например, \(x = 2\).
\((-13 - 1)(-13 + 12) = (-14)(-1) = 14\). Это положительное число.
\((0 - 1)(0 + 12) = (-1)(12) = -12\). Это отрицательное число.
\((2 - 1)(2 + 12) = (1)(14) = 14\). Это положительное число.
4. Нам нужно найти интервал, где выражение \((x-1)(x+12) < 0\), то есть отрицательно.
Это интервал \((-12; 1)\).
5. Сравним с предложенными вариантами:
1) \((-\infty; 1)\)
2) \((-\infty; -12) \cup (1; +\infty)\)
3) \((-\infty; -12)\)
4) \((-12; 1)\)
Правильный вариант - 4.
Ответ: 4
Задача 14. В амфитеатре 18 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?
Дано:
- Количество рядов = 18.
- В первом ряду \(a_1 = 20\) мест.
- В каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем. Это означает, что у нас арифметическая прогрессия с разностью \(d = 3\).
Найти: Количество мест в одиннадцатом ряду (\(a_{11}\)).
Решение:
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
Для одиннадцатого ряда \(n = 11\).
\[a_{11} = a_1 + (11-1)d\]
\[a_{11} = 20 + (10) \times 3\]
\[a_{11} = 20 + 30\]
\[a_{11} = 50\]
В одиннадцатом ряду амфитеатра 50 мест.
Ответ: 50
Задача 15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=28, AB=40. Найдите \(\sin B\).
Дано:
- Треугольник ABC – прямоугольный, \( \angle C = 90^\circ \).
- Катет \(AC = 28\).
- Гипотенуза \(AB = 40\).
Найти: \(\sin B\).
Решение:
В прямоугольном треугольнике синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащим катетом является AC, а гипотенузой – AB.
\[\sin B = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}\]
Подставим известные значения:
\[\sin B = \frac{28}{40}\]
Сократим дробь. Оба числа делятся на 4:
\[\sin B = \frac{28 \div 4}{40 \div 4} = \frac{7}{10}\]
Переведем в десятичную дробь:
\[\sin B = 0,7\]
Ответ: 0,7
Задача 16. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 48°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Дано:
- Окружность с центром O.
- Касательные к окружности в точках A и B пересекаются в некоторой точке P (на рисунке не обозначена, но подразумевается).
- Угол между касательными \( \angle APB = 48^\circ \).
Найти: Угол \( \angle ABO \).
Решение:
1. Свойства касательных к окружности:
- Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \(OA \perp AP\) и \(OB \perp BP\).
- Из этого следует, что \( \angle OAP = 90^\circ \) и \( \angle OBP = 90^\circ \).
- Отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны. То есть \(AP = BP\).
- Центр окружности O лежит на биссектрисе угла между касательными. То есть OP является биссектрисой \( \angle APB \).
2. Рассмотрим четырехугольник OAPB. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
\[\angle AOB + \angle OBP + \angle APB + \angle OAP = 360^\circ\]
\[\angle AOB + 90^\circ + 48^\circ + 90^\circ = 360^\circ\]
\[\angle AOB + 228^\circ = 360^\circ\]
\[\angle AOB = 360^\circ - 228^\circ\]
\[\angle AOB = 132^\circ\]
3. Рассмотрим треугольник AOB. \(OA\) и \(OB\) – это радиусы окружности, поэтому \(OA = OB\). Значит, треугольник AOB – равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании – это \( \angle OAB \) и \( \angle OBA \).
Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°.
\[\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\]
\[2 \times \angle OBA + 132^\circ = 180^\circ\]
\[2 \times \angle OBA = 180^\circ - 132^\circ\]
\[2 \times \angle OBA = 48^\circ\]
\[\angle OBA = \frac{48^\circ}{2}\]
\[\angle OBA = 24^\circ\]
Угол \( \angle ABO \) – это тот же угол \( \angle OBA \).
Ответ: 24
Задача 17. Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 3 и 12.
Дано:
- Трапеция ABCD – равнобедренная.
- AD – большее основание, BC – меньшее основание.
- AD = 12
- BC = 3
- Диагональ AC образует с основанием AD угол \( \angle CAD = 45^\circ \).
Найти: Высоту трапеции h.
Решение:
1. Проведем высоты BH и CK из вершин B и C к большему основанию AD. Так как трапеция равнобедренная, то:
\[AK = HD = \frac{AD - BC}{2}\]
\[AK = HD = \frac{12 - 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5\]
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. В нем CK – высота, AK = 4,5.
Мы знаем, что \( \angle CAD = 45^\circ \). Это угол между диагональю AC и основанием AD.
3. В прямоугольном треугольнике ACK:
Тангенс угла \( \angle CAK \) (или \( \angle CAD \)) равен отношению противолежащего катета CK к прилежащему катету AK.
\[\tan(\angle CAK) = \frac{CK}{AK}\]
Мы знаем \( \angle CAK = 45^\circ \) и \( AK = 4,5 \).
\[\tan(45^\circ) = \frac{CK}{4,5}\]
4. Известно, что \( \tan(45^\circ) = 1 \).
\[1 = \frac{CK}{4,5}\]
5. Отсюда найдем высоту CK:
\[CK = 1 \times 4,5\]
\[CK = 4,5\]
Высота трапеции h = CK.
Значит, h = 4,5.
Ответ: 4,5
Задача 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \(\times\) 1 см изображена фигура. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Фигура на рисунке представляет собой трапецию.
1. Определим длины оснований трапеции, считая по клеткам:
- Нижнее основание (большее) = 7 клеток.
- Верхнее основание (меньшее) = 3 клетки.
2. Определим высоту трапеции, считая по клеткам:
- Высота = 3 клетки.
3. Так как размер клетки 1 см \(\times\) 1 см, то длины оснований и высота в сантиметрах будут численно равны количеству клеток:
- Нижнее основание \(a = 7\) см.
- Верхнее основание \(b = 3\) см.
- Высота \(h = 3\) см.
4. Площадь трапеции (S) находится по формуле:
\[S = \frac{a + b}{2} \times h\]
Подставим значения:
\[S = \frac{7 + 3}{2} \times 3\]
\[S = \frac{10}{2} \times 3\]
\[S = 5 \times 3\]
\[S = 15 \, \text{см}^2\]
Ответ: 15
Задача 19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
1) Смежные углы всегда равны.
Решение:
Рассмотрим утверждение:
1) Смежные углы всегда равны.
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются продолжением одна другой (образуют прямую линию). Сумма смежных углов всегда равна 180°.
Например, если один смежный угол равен 30°, то другой равен \(180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Эти углы не равны.
Смежные углы равны только в одном случае: когда каждый из них равен 90° (\(90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\)). Но это не "всегда".
Поэтому утверждение "Смежные углы всегда равны" является ложным.
Так как в задаче представлен только один вариант, и он является ложным, то, возможно, это часть более крупного задания, где нужно выбрать из нескольких вариантов. Если это единственное утверждение, то оно ложно.
Если бы были другие варианты, например:
2) Сумма углов треугольника равна 180 градусам.
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.
Эти утверждения были бы истинными.
В данном случае, если нужно выбрать истинное, а представлен только один ложный, то либо задача неполная, либо подразумевается, что нужно указать, является ли данное утверждение истинным. В таком случае ответ: "Нет, не является истинным".
Однако, формат задачи "Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?" подразумевает выбор из нескольких. Если это единственное утверждение, то оно ложно.
Предположим, что это часть теста, где нужно выбрать один из нескольких вариантов, и остальные варианты не показаны. Если бы это был единственный вариант, то ответ был бы "Ложное". Но если это вопрос с выбором, и других вариантов нет, то это может быть некорректная формулировка или неполный скриншот.
Если же вопрос подразумевает, что из всех возможных утверждений, только одно из них истинно, и нам дано только одно, то мы должны оценить его истинность.
Утверждение "Смежные углы всегда равны" - ложно.
Ответ: Утверждение 1) является ложным.