Решение задачи: f(x) = x³/3 - 2x²

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. 1. Функция задана формулой \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2\). Найдите: 1) \(f(-6)\) и \(f(2)\); 2) нули функции. Решение: 1) Чтобы найти значения функции в точках \(x = -6\) и \(x = 2\), подставим эти значения в формулу функции: Для \(x = -6\): \[f(-6) = \frac{1}{3}(-6)^3 - 2(-6)^2\] \[f(-6) = \frac{1}{3}(-216) - 2(36)\] \[f(-6) = -72 - 72\] \[f(-6) = -144\] Для \(x = 2\): \[f(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - 2(2)^2\] \[f(2) = \frac{1}{3}(8) - 2(4)\] \[f(2) = \frac{8}{3} - 8\] \[f(2) = \frac{8}{3} - \frac{24}{3}\] \[f(2) = -\frac{16}{3}\] 2) Нули функции - это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). \[\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 = 0\] Вынесем общий множитель \(x^2\) за скобки: \[x^2\left(\frac{1}{3}x - 2\right) = 0\] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[x^2 = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{3}x - 2 = 0\] Из первого уравнения: \[x = 0\] Из второго уравнения: \[\frac{1}{3}x = 2\] \[x = 2 \cdot 3\] \[x = 6\] Таким образом, нули функции: \(x = 0\) и \(x = 6\). 2. Найдите область определения функции \(f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 4}\). Решение: Область определения рациональной функции - это все действительные числа, кроме тех значений \(x\), при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель равен \(x - 4\). Приравняем знаменатель к нулю: \[x - 4 = 0\] \[x = 4\] Значит, \(x\) не может быть равен 4. Область определения функции: \(x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)\). 3. Постройте график функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Используя график, найдите: 1) область значений функции; 2) промежуток убывания функции; 3) множество решений неравенства \(f(x) < 0\). Решение: Функция \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) является квадратичной функцией, её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0). Найдем координаты вершины параболы \((x_в; y_в)\): \[x_в = -\frac{b}{2a}\] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). \[x_в = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\] Теперь найдем \(y_в\), подставив \(x_в = 2\) в функцию: \[y_в = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\] Вершина параболы находится в точке \((2; -1)\). Найдем точки пересечения с осями координат: С осью \(Oy\) (при \(x = 0\)): \[f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3\] Точка пересечения с \(Oy\): \((0; 3)\). С осью \(Ox\) (при \(f(x) = 0\)): \[x^2 - 4x + 3 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 4\), \(x_1 \cdot x_2 = 3\). Отсюда \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\). Точки пересечения с \(Ox\): \((1; 0)\) и \((3; 0)\). Построим график, используя эти точки: вершина \((2; -1)\), точки \((0; 3)\), \((1; 0)\), \((3; 0)\). Также можно взять симметричную точку к \((0; 3)\) относительно оси симметрии \(x=2\), это будет \((4; 3)\). (Здесь должен быть рисунок графика параболы, проходящей через точки \((0;3)\), \((1;0)\), \((2;-1)\), \((3;0)\), \((4;3)\). Ветви параболы направлены вверх.) Используя график, найдем: 1) Область значений функции: Так как ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в точке \((2; -1)\), наименьшее значение функции равно \(y_в = -1\). Область значений: \([-1; +\infty)\). 2) Промежуток убывания функции: Парабола убывает до своей вершины. Ось симметрии проходит через \(x = 2\). Промежуток убывания: \((-\infty; 2]\). 3) Множество решений неравенства \(f(x) < 0\): Это те значения \(x\), при которых график функции находится ниже оси \(Ox\). Мы нашли, что график пересекает ось \(Ox\) в точках \(x = 1\) и \(x = 3\). На графике видно, что функция отрицательна между этими точками. Множество решений: \((1; 3)\). 4. Постройте график функции: 1) \(f(x) = \sqrt{x} + 1\); 2) \(f(x) = \sqrt{x + 1}\). Решение: 1) График функции \(f(x) = \sqrt{x} + 1\): Это график функции \(y = \sqrt{x}\), сдвинутый на 1 единицу вверх по оси \(Oy\). Область определения: \(x \ge 0\). Несколько точек для построения: При \(x = 0\), \(f(0) = \sqrt{0} + 1 = 1\). Точка \((0; 1)\). При \(x = 1\), \(f(1) = \sqrt{1} + 1 = 2\). Точка \((1; 2)\). При \(x = 4\), \(f(4) = \sqrt{4} + 1 = 3\). Точка \((4; 3)\). При \(x = 9\), \(f(9) = \sqrt{9} + 1 = 4\). Точка \((9; 4)\). (Здесь должен быть рисунок графика, начинающегося в точке \((0;1)\) и плавно возрастающего вправо вверх, как корень.) 2) График функции \(f(x) = \sqrt{x + 1}\): Это график функции \(y = \sqrt{x}\), сдвинутый на 1 единицу влево по оси \(Ox\). Область определения: \(x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1\). Несколько точек для построения: При \(x = -1\), \(f(-1) = \sqrt{-1 + 1} = \sqrt{0} = 0\). Точка \((-1; 0)\). При \(x = 0\), \(f(0) = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1\). Точка \((0; 1)\). При \(x = 3\), \(f(3) = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\). Точка \((3; 2)\). При \(x = 8\), \(f(8) = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3\). Точка \((8; 3)\). (Здесь должен быть рисунок графика, начинающегося в точке \((-1;0)\) и плавно возрастающего вправо вверх, как корень.) 5. Найдите область определения функции \(f(x) = \sqrt{x - 2} + \frac{7}{x^2 - 16}\). Решение: Для того чтобы функция была определена, должны выполняться два условия: 1) Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \[x - 2 \ge 0\] \[x \ge 2\] 2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \[x^2 - 16 \ne 0\] \[x^2 \ne 16\] \[x \ne \pm 4\] Теперь объединим эти условия. Мы ищем \(x\), которые удовлетворяют \(x \ge 2\) и \(x \ne 4\) и \(x \ne -4\). Условие \(x \ge 2\) уже исключает \(x = -4\). Таким образом, нам нужно исключить только \(x = 4\) из промежутка \([2; +\infty)\). Область определения функции: \([2; 4) \cup (4; +\infty)\). 6. При каких значениях \(b\) и \(c\) вершина параболы \(y = 2x^2 + bx + c\) находится в точке \(A(-3; -2)\)? Решение: Координаты вершины параболы \((x_в; y_в)\) задаются формулами: \[x_в = -\frac{b}{2a}\] \[y_в = f(x_в)\] В данном случае, парабола имеет вид \(y = 2x^2 + bx + c\), значит \(a = 2\). Вершина находится в точке \(A(-3; -2)\), то есть \(x_в = -3\) и \(y_в = -2\). Используем формулу для \(x_в\): \[-3 = -\frac{b}{2 \cdot 2}\] \[-3 = -\frac{b}{4}\] Умножим обе части на -4: \[12 = b\] Итак, \(b = 12\). Теперь используем тот факт, что вершина \((-3; -2)\) лежит на параболе. Подставим \(x = -3\), \(y = -2\) и найденное значение \(b = 12\) в уравнение параболы: \[y = 2x^2 + bx + c\] \[-2 = 2(-3)^2 + 12(-3) + c\] \[-2 = 2(9) - 36 + c\] \[-2 = 18 - 36 + c\] \[-2 = -18 + c\] Прибавим 18 к обеим частям: \[-2 + 18 = c\] \[16 = c\] Итак, \(c = 16\). Значения \(b\) и \(c\), при которых вершина параболы находится в точке \(A(-3; -2)\), равны \(b = 12\) и \(c = 16\).