Задача 20. Решите систему уравнений:
\[\begin{cases} (x-3)(y-9)=0, \\ \frac{y-5}{x+y-8}=2. \end{cases}\]
Решение:
Рассмотрим первое уравнение системы: \((x-3)(y-9)=0\).
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это означает, что либо \(x-3=0\), либо \(y-9=0\).
Отсюда получаем два возможных случая:
Случай 1: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\).
Случай 2: \(y - 9 = 0 \Rightarrow y = 9\).
Теперь рассмотрим второе уравнение системы: \(\frac{y-5}{x+y-8}=2\).
Для этого уравнения есть ограничение: знаменатель не может быть равен нулю.
\[x+y-8 \neq 0\]
Также, чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на знаменатель:
\[y-5 = 2(x+y-8)\]
\[y-5 = 2x + 2y - 16\]
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы упростить уравнение:
\[0 = 2x + 2y - y - 16 + 5\]
\[0 = 2x + y - 11\]
\[2x + y = 11\]
Теперь подставим значения из Случая 1 и Случая 2 в упрощенное второе уравнение \(2x + y = 11\) и проверим условие \(x+y-8 \neq 0\).
Рассмотрим Случай 1: \(x = 3\).
Подставим \(x=3\) в уравнение \(2x + y = 11\):
\[2(3) + y = 11\]
\[6 + y = 11\]
\[y = 11 - 6\]
\[y = 5\]
Получили решение \((x, y) = (3, 5)\).
Теперь проверим условие \(x+y-8 \neq 0\):
\[3 + 5 - 8 = 8 - 8 = 0\]
Так как знаменатель равен нулю, это решение не подходит. Значит, пара \((3, 5)\) не является решением системы.
Рассмотрим Случай 2: \(y = 9\).
Подставим \(y=9\) в уравнение \(2x + y = 11\):
\[2x + 9 = 11\]
\[2x = 11 - 9\]
\[2x = 2\]
\[x = 1\]
Получили решение \((x, y) = (1, 9)\).
Теперь проверим условие \(x+y-8 \neq 0\):
\[1 + 9 - 8 = 10 - 8 = 2\]
Так как \(2 \neq 0\), это решение подходит. Значит, пара \((1, 9)\) является решением системы.
Ответ: \((1; 9)\)