Решение задачи: Найти CS в треугольнике AMT

Задача 8. В треугольнике \(AMT\) известны три стороны: \(AM = 49.5\) см, \(AT = 77\) см, \(MT = 66\) см. На стороне \(AT\) отметили точку \(C\), а на стороне \(AM\) - точку \(S\). Оказалось, что \(TC = 63\) см, \(MS = 40.5\) см. Найдите \(CS\). Решение: 1. Найдём длины отрезков \(AC\) и \(AS\). Точка \(C\) лежит на стороне \(AT\). \(AC = AT - TC = 77 - 63 = 14\) см. Точка \(S\) лежит на стороне \(AM\). \(AS = AM - MS = 49.5 - 40.5 = 9\) см. 2. Рассмотрим треугольники \(AMT\) и \(ASC\). У них есть общий угол \(A\). Давайте проверим отношение сторон, прилежащих к этому углу: Отношение сторон \(AM\) к \(AC\): \[ \frac{AM}{AC} = \frac{49.5}{14} \] Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 10: \[ \frac{49.5}{14} = \frac{495}{140} \] Разделим числитель и знаменатель на 5: \[ \frac{495 \div 5}{140 \div 5} = \frac{99}{28} \] Отношение сторон \(AT\) к \(AS\): \[ \frac{AT}{AS} = \frac{77}{9} \] Мы видим, что \(\frac{AM}{AC} \neq \frac{AT}{AS}\). Давайте попробуем рассмотреть отношение других сторон. Отношение сторон \(AM\) к \(AS\): \[ \frac{AM}{AS} = \frac{49.5}{9} \] Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 10: \[ \frac{49.5}{9} = \frac{495}{90} \] Разделим числитель и знаменатель на 45: \[ \frac{495 \div 45}{90 \div 45} = \frac{11}{2} = 5.5 \] Отношение сторон \(AT\) к \(AC\): \[ \frac{AT}{AC} = \frac{77}{14} \] Разделим числитель и знаменатель на 7: \[ \frac{77 \div 7}{14 \div 7} = \frac{11}{2} = 5.5 \] Так как \(\frac{AM}{AS} = \frac{AT}{AC} = 5.5\) и угол \(A\) у них общий, то треугольники \(AMT\) и \(ASC\) подобны по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников). 3. Из подобия треугольников следует, что отношение третьих сторон равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия \(k = 5.5\). Значит, \(\frac{MT}{CS} = k\). \[ \frac{MT}{CS} = 5.5 \] Нам известно \(MT = 66\) см. \[ \frac{66}{CS} = 5.5 \] Чтобы найти \(CS\), выразим его: \[ CS = \frac{66}{5.5} \] Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби: \[ CS = \frac{66 \times 10}{5.5 \times 10} = \frac{660}{55} \] Выполним деление: \[ 660 \div 55 = 12 \] Итак, \(CS = 12\) см. Ответ: \(CS = 12\) см.