Задача 6: Найти основание трапеции

Задача 6. В трапеции \(EHPA\) с основаниями \(EA\) и \(HP\) диагонали пересекаются в точке \(N\). Найдите основание \(EA\), если основание \(HP\) равно 77 см, а \(HN:NA = 11:2\). Решение: 1. Нарисуем трапецию \(EHPA\). Основания \(EA\) и \(HP\) параллельны. Диагонали \(EP\) и \(HA\) пересекаются в точке \(N\). 2. Рассмотрим треугольники \(\triangle HNP\) и \(\triangle ANE\). Поскольку \(EA\) и \(HP\) - основания трапеции, они параллельны. Значит, \(HP \parallel EA\). 3. Из параллельности оснований следуют равенства углов: Углы \(\angle HPN\) и \(\angle AEN\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(HP\) и \(EA\) и секущей \(EP\). Значит, \(\angle HPN = \angle AEN\). Углы \(\angle PHN\) и \(\angle EAN\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(HP\) и \(EA\) и секущей \(HA\). Значит, \(\angle PHN = \angle EAN\). Углы \(\angle HNP\) и \(\angle ANE\) являются вертикальными. Значит, \(\angle HNP = \angle ANE\). 4. Поскольку все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то треугольники \(\triangle HNP\) и \(\triangle ANE\) подобны по трем углам. 5. Из подобия треугольников следует, что отношения соответствующих сторон равны. Нам дано отношение \(HN:NA = 11:2\). Это отношение соответствующих сторон в подобных треугольниках. Значит, коэффициент подобия \(k = \frac{HN}{NA} = \frac{11}{2}\). 6. Отношение оснований трапеции также равно коэффициенту подобия: \[ \frac{HP}{EA} = \frac{HN}{NA} \] Подставим известные значения: \[ \frac{77}{EA} = \frac{11}{2} \] 7. Теперь решим это уравнение относительно \(EA\): \[ EA = \frac{77 \times 2}{11} \] \[ EA = \frac{154}{11} \] \[ EA = 14 \] Таким образом, длина основания \(EA\) равна 14 см. Ответ: \(EA = 14\) см.