Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Крамера

Задание № 1 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Крамера: \[ \begin{cases} x_1 - x_2 + 2x_3 = -1, \\ 3x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -4, \\ 5x_1 - 2x_2 + 4x_3 = -1. \end{cases} \] Решение.

Метод Гаусса

Запишем расширенную матрицу системы: \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & -2 & -4 \\ 5 & -2 & 4 & -1 \end{array} \right) \] Выполним элементарные преобразования строк, чтобы привести матрицу к ступенчатому виду. 1. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: \(R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1\). 2. Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 5: \(R_3 \leftarrow R_3 - 5R_1\). \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 2 - 3 \cdot (-1) & -2 - 3 \cdot 2 & -4 - 3 \cdot (-1) \\ 5 - 5 \cdot 1 & -2 - 5 \cdot (-1) & 4 - 5 \cdot 2 & -1 - 5 \cdot (-1) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 5 & -8 & -1 \\ 0 & 3 & -6 & 4 \end{array} \right) \] Теперь сделаем так, чтобы элемент во второй строке, втором столбце стал 1. Разделим вторую строку на 5: \(R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2\). \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 3 & -6 & 4 \end{array} \right) \] Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 3: \(R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2\). \[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 3 - 3 \cdot 1 & -6 - 3 \cdot (-\frac{8}{5}) & 4 - 3 \cdot (-\frac{1}{5}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & -6 + \frac{24}{5} & 4 + \frac{3}{5} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{30}{5} + \frac{24}{5} & \frac{20}{5} + \frac{3}{5} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{8}{5} & -\frac{1}{5} \\ 0 & 0 & -\frac{6}{5} & \frac{23}{5} \end{array} \right) \] Теперь из последней строки выразим \(x_3\): \(-\frac{6}{5}x_3 = \frac{23}{5}\) \(-6x_3 = 23\) \(x_3 = -\frac{23}{6}\) Подставим \(x_3\) во второе уравнение: \(x_2 - \frac{8}{5}x_3 = -\frac{1}{5}\) \(x_2 - \frac{8}{5} \cdot (-\frac{23}{6}) = -\frac{1}{5}\) \(x_2 + \frac{8 \cdot 23}{5 \cdot 6} = -\frac{1}{5}\) \(x_2 + \frac{4 \cdot 23}{5 \cdot 3} = -\frac{1}{5}\) \(x_2 + \frac{92}{15} = -\frac{1}{5}\) \(x_2 = -\frac{1}{5} - \frac{92}{15}\) \(x_2 = -\frac{3}{15} - \frac{92}{15}\) \(x_2 = -\frac{95}{15}\) \(x_2 = -\frac{19}{3}\) Подставим \(x_2\) и \(x_3\) в первое уравнение: \(x_1 - x_2 + 2x_3 = -1\) \(x_1 - (-\frac{19}{3}) + 2 \cdot (-\frac{23}{6}) = -1\) \(x_1 + \frac{19}{3} - \frac{23}{3} = -1\) \(x_1 - \frac{4}{3} = -1\) \(x_1 = -1 + \frac{4}{3}\) \(x_1 = -\frac{3}{3} + \frac{4}{3}\) \(x_1 = \frac{1}{3}\) Итак, решение системы: \(x_1 = \frac{1}{3}\), \(x_2 = -\frac{19}{3}\), \(x_3 = -\frac{23}{6}\).

Метод Крамера

Для метода Крамера нам понадобятся определители. Основной определитель системы \(\Delta\): \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & -2 \\ 5 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] Вычислим определитель по правилу Саррюса или разложением по первой строке: \(\Delta = 1 \cdot (2 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) - (-1) \cdot (3 \cdot 4 - (-2) \cdot 5) + 2 \cdot (3 \cdot (-2) - 2 \cdot 5)\) \(\Delta = 1 \cdot (8 - 4) + 1 \cdot (12 - (-10)) + 2 \cdot (-6 - 10)\) \(\Delta = 1 \cdot 4 + 1 \cdot (12 + 10) + 2 \cdot (-16)\) \(\Delta = 4 + 22 - 32\) \(\Delta = 26 - 32\) \(\Delta = -6\) Теперь вычислим определители \(\Delta_1\), \(\Delta_2\), \(\Delta_3\). Для \(\Delta_1\) заменим первый столбец на столбец свободных членов: \[ \Delta_1 = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -4 & 2 & -2 \\ -1 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] \(\Delta_1 = -1 \cdot (2 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) - (-1) \cdot ((-4) \cdot 4 - (-2) \cdot (-1)) + 2 \cdot ((-4) \cdot (-2) - 2 \cdot (-1))\) \(\Delta_1 = -1 \cdot (8 - 4) + 1 \cdot (-16 - 2) + 2 \cdot (8 + 2)\) \(\Delta_1 = -1 \cdot 4 + 1 \cdot (-18) + 2 \cdot 10\) \(\Delta_1 = -4 - 18 + 20\) \(\Delta_1 = -22 + 20\) \(\Delta_1 = -2\) Для \(\Delta_2\) заменим второй столбец на столбец свободных членов: \[ \Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -4 & -2 \\ 5 & -1 & 4 \end{vmatrix} \] \(\Delta_2 = 1 \cdot ((-4) \cdot 4 - (-2) \cdot (-1)) - (-1) \cdot (3 \cdot 4 - (-2) \cdot 5) + 2 \cdot (3 \cdot (-1) - (-4) \cdot 5)\) \(\Delta_2 = 1 \cdot (-16 - 2) + 1 \cdot (12 - (-10)) + 2 \cdot (-3 - (-20))\) \(\Delta_2 = 1 \cdot (-18) + 1 \cdot (12 + 10) + 2 \cdot (-3 + 20)\) \(\Delta_2 = -18 + 22 + 2 \cdot 17\) \(\Delta_2 = 4 + 34\) \(\Delta_2 = 38\) Для \(\Delta_3\) заменим третий столбец на столбец свободных членов: \[ \Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 3 & 2 & -4 \\ 5 & -2 & -1 \end{vmatrix} \] \(\Delta_3 = 1 \cdot (2 \cdot (-1) - (-4) \cdot (-2)) - (-1) \cdot (3 \cdot (-1) - (-4) \cdot 5) + (-1) \cdot (3 \cdot (-2) - 2 \cdot 5)\) \(\Delta_3 = 1 \cdot (-2 - 8) + 1 \cdot (-3 - (-20)) - 1 \cdot (-6 - 10)\) \(\Delta_3 = 1 \cdot (-10) + 1 \cdot (-3 + 20) - 1 \cdot (-16)\) \(\Delta_3 = -10 + 17 + 16\) \(\Delta_3 = 7 + 16\) \(\Delta_3 = 23\) Теперь найдем значения \(x_1, x_2, x_3\) по формулам Крамера: \(x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{38}{-6} = -\frac{19}{3}\) \(x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta} = \frac{23}{-6} = -\frac{23}{6}\) Результаты, полученные обоими методами, совпадают. Ответ: \(x_1 = \frac{1}{3}\), \(x_2 = -\frac{19}{3}\), \(x_3 = -\frac{23}{6}\).