Решение задач по геометрии: векторы

Хорошо, давайте разберем эти задания по порядку. 1. Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется вектором. А луч Б, прямая В — вектор. Ответ: Вектор. 2. Какие слова пропущены в предложении? Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково (тогда их называют сонаправленными), либо противоположно (тогда их называют противоположно направленными). А. сонаправленные; разнонаправленные Б. противоположно направленные; сонаправленные В. сонаправленные; противоположно направленные Ответ: В. сонаправленные; противоположно направленные 3. Длиной ненулевого вектора \(\vec{AB}\) называется: А. длина луча Б. длина отрезка АВ В. длина прямой Ответ: Б. длина отрезка АВ. 4. Выберите верное обозначение сонаправленных векторов. А. \(\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}\) Б. \(\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{b}\) В. \(\vec{a} \mid \vec{b}\) Ответ: А. \(\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{b}\) 5. Запишите пары коллинеарных векторов. Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Из рисунка видно, что: * Векторы \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{a}\) лежат на одной прямой. * Векторы \(\vec{e}\), \(\vec{f}\), \(\vec{m}\) лежат на одной прямой. * Вектор \(\vec{d}\) лежит на прямой, параллельной прямой с векторами \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{a}\). Пары коллинеарных векторов: * \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) * \(\vec{b}\) и \(\vec{a}\) * \(\vec{c}\) и \(\vec{a}\) * \(\vec{d}\) и \(\vec{b}\) * \(\vec{d}\) и \(\vec{c}\) * \(\vec{d}\) и \(\vec{a}\) * \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\) * \(\vec{e}\) и \(\vec{m}\) * \(\vec{f}\) и \(\vec{m}\) 6. Выберите пары равных векторов. Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Из условия дано: \[|\vec{b}| = |\vec{c}|, |\vec{a}| = |\vec{d}|, |\vec{e}| = |\vec{f}| = |\vec{m}|;\] \[\vec{b} \parallel \vec{c} \parallel \vec{d} \parallel \vec{a}, \vec{e} \parallel \vec{f} \parallel \vec{m};\] Рассмотрим направления векторов на рисунке: * \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) сонаправлены. * \(\vec{a}\) направлен в противоположную сторону от \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). * \(\vec{d}\) направлен в противоположную сторону от \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). * \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\) сонаправлены. * \(\vec{m}\) направлен в противоположную сторону от \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\). Учитывая длины и направления: * \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны, так как имеют одинаковую длину (дано \(|\vec{b}| = |\vec{c}|\)) и сонаправлены. * \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\) равны, так как имеют одинаковую длину (дано \(|\vec{e}| = |\vec{f}|\)) и сонаправлены. Теперь посмотрим на предложенные варианты: А. \(\vec{e}\) и \(\vec{m}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) \(\vec{e}\) и \(\vec{m}\) не равны, так как имеют противоположные направления. \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны. Б. \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), \(\vec{f}\) и \(\vec{m}\) \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны. \(\vec{f}\) и \(\vec{m}\) не равны, так как имеют противоположные направления. В. \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\), \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) не равны, так как имеют противоположные направления. \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) не равны. Г. \(\vec{a}\) и \(\vec{f}\), \(\vec{e}\) и \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) и \(\vec{f}\) не равны. \(\vec{e}\) и \(\vec{b}\) не равны. Похоже, в вариантах ответа есть неточности или подразумевается, что нужно выбрать вариант, где хотя бы одна пара векторов равна. Если нужно выбрать вариант, где *все* пары векторов равны, то такого варианта нет. Если нужно выбрать вариант, где *есть* равные векторы, то: В варианте А: \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны. В варианте Б: \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны. Если вопрос подразумевает выбор *всех* пар равных векторов, то это \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\). Ни один из вариантов А, Б, В, Г не содержит обе эти пары и только их. Однако, если мы должны выбрать лучший вариант из предложенных, то варианты А и Б содержат пару \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), которая является парой равных векторов. Давайте перепроверим условие. "Выберите пары равных векторов." Возможно, подразумевается, что нужно выбрать вариант, где *все* перечисленные пары являются парами равных векторов. В таком случае, ни один из вариантов не подходит полностью. Если же вопрос подразумевает, что нужно выбрать вариант, который *содержит* хотя бы одну пару равных векторов, и при этом другие пары в этом варианте могут быть не равны, то это не очень корректная формулировка. Предположим, что нужно выбрать вариант, где *все* перечисленные пары являются равными. Тогда такого варианта нет. Если же вопрос подразумевает, что нужно выбрать вариант, который *наиболее полно* или *корректно* описывает равные векторы, то это сложно. Давайте еще раз посмотрим на условие: \[|\vec{b}| = |\vec{c}|, |\vec{a}| = |\vec{d}|, |\vec{e}| = |\vec{f}| = |\vec{m}|;\] \[\vec{b} \parallel \vec{c} \parallel \vec{d} \parallel \vec{a}, \vec{e} \parallel \vec{f} \parallel \vec{m};\] Равные векторы: 1. \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) (одинаковая длина, сонаправлены) 2. \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\) (одинаковая длина, сонаправлены) Теперь смотрим на варианты: А. \(\vec{e}\) и \(\vec{m}\) (не равны), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) (равны) Б. \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) (равны), \(\vec{f}\) и \(\vec{m}\) (не равны) В. \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) (не равны), \(\vec{m}\) и \(\vec{a}\) (не равны) Г. \(\vec{a}\) и \(\vec{f}\) (не равны), \(\vec{e}\) и \(\vec{b}\) (не равны) Если нужно выбрать вариант, где *все* пары равны, то такого нет. Если нужно выбрать вариант, где *хотя бы одна* пара равна, то подходят А и Б. Если это тест с одним правильным ответом, то есть проблема в задании или вариантах. Предположим, что вопрос подразумевает, что нужно выбрать вариант, который содержит *только* равные пары векторов. Тогда ни один вариант не подходит. Если же вопрос подразумевает, что нужно выбрать вариант, который *перечисляет* равные векторы, и другие векторы в этом варианте могут быть не равны, то это странно. Давайте предположим, что в задании опечатка, и нужно выбрать вариант, который содержит *одну* из пар равных векторов. Тогда и А, и Б содержат \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\). Если бы был вариант, например: "Пары равных векторов: \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\)", то это был бы правильный ответ. В условиях задачи, где нужно выбрать один вариант, и при этом в вариантах А и Б есть одна правильная пара, а вторая нет, это затруднительно. Давайте выберем вариант, который содержит хотя бы одну пару равных векторов. Например, А. Ответ: А. (с оговоркой, что \(\vec{e}\) и \(\vec{m}\) не равны, но \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны). Или Б. (с оговоркой, что \(\vec{f}\) и \(\vec{m}\) не равны, но \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) равны). Если это задание с выбором одного ответа, то оно некорректно составлено. Если же это задание, где нужно просто перечислить пары равных векторов, то это \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\). Для школьника, который переписывает в тетрадь, я бы написал: Равные векторы: \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\). Если нужно выбрать из предложенных вариантов, то оба варианта А и Б содержат одну правильную пару (\(\vec{b}\) и \(\vec{c}\)). Выберем, например, А. Ответ: А. (поскольку пара \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) является парой равных векторов). 7. Запишите длины векторов. Для определения длины вектора на координатной плоскости, где каждая клетка представляет собой единичный отрезок, можно использовать теорему Пифагора или просто посчитать количество клеток. * Вектор \(\vec{F}\) (от F до A): Горизонтальное смещение: 0 Вертикальное смещение: 3 клетки вверх. Длина \(|\vec{F}| = 3\). * Вектор \(\vec{A}\) (от A до E): Горизонтальное смещение: 0 Вертикальное смещение: 2 клетки вниз. Длина \(|\vec{A}| = 2\). * Вектор \(\vec{E}\) (от E до B): Горизонтальное смещение: 3 клетки вправо. Вертикальное смещение: 0. Длина \(|\vec{E}| = 3\). * Вектор \(\vec{C}\) (от C до D): Горизонтальное смещение: 3 клетки вправо. Вертикальное смещение: 2 клетки вниз. Длина \(|\vec{C}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\). * Вектор \(\vec{N}\) (от N до C): Горизонтальное смещение: 0 Вертикальное смещение: 2 клетки вверх. Длина \(|\vec{N}| = 2\). * Вектор \(\vec{D}\) (от D до N): Горизонтальное смещение: 3 клетки влево. Вертикальное смещение: 0. Длина \(|\vec{D}| = 3\). Ответ: Длина вектора \(\vec{F}\) (от F до A) = 3 Длина вектора \(\vec{A}\) (от A до E) = 2 Длина вектора \(\vec{E}\) (от E до B) = 3 Длина вектора \(\vec{C}\) (от C до D) = \(\sqrt{13}\) Длина вектора \(\vec{N}\) (от N до C) = 2 Длина вектора \(\vec{D}\) (от D до N) = 3