Решение квадратных уравнений: 3x^2 - 7x + 4 = 0 и 5x^2 - 8x + 3 = 0

Хорошо, давайте решим задачи из учебника. 534. Решите уравнение: а) \(3x^2 - 7x + 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\). Для его решения используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). В нашем случае \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 4\). Найдем дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\). \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = \frac{6}{6} = 1\). Ответ: \(x_1 = \frac{4}{3}\), \(x_2 = 1\). б) \(5x^2 - 8x + 3 = 0\) Здесь \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = 3\). Найдем дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 + 2}{10} = \frac{10}{10} = 1\). \(x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 5} = \frac{8 - 2}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{3}{5}\). в) \(3x^2 - 13x + 14 = 0\) Здесь \(a = 3\), \(b = -13\), \(c = 14\). Найдем дискриминант: \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}\). \(x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2\). Ответ: \(x_1 = \frac{7}{3}\), \(x_2 = 2\). г) \(2y^2 - 9y + 10 = 0\) Здесь \(a = 2\), \(b = -9\), \(c = 10\). Найдем дискриминант: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(y_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\). \(y_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2\). Ответ: \(y_1 = \frac{5}{2}\), \(y_2 = 2\). д) \(5y^2 - 6y + 1 = 0\) Здесь \(a = 5\), \(b = -6\), \(c = 1\). Найдем дискриминант: \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(y_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1\). \(y_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). Ответ: \(y_1 = 1\), \(y_2 = \frac{1}{5}\). е) \(4x^2 + x - 33 = 0\) Здесь \(a = 4\), \(b = 1\), \(c = -33\). Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-33) = 1 + 16 \cdot 33 = 1 + 528 = 529\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{529} = 23\). \(x_1 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 4} = \frac{22}{8} = \frac{11}{4}\). \(x_2 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3\). Ответ: \(x_1 = \frac{11}{4}\), \(x_2 = -3\). ж) \(y^2 - 10y - 24 = 0\) Здесь \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -24\). Найдем дискриминант: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{196} = 14\). \(y_1 = \frac{-(-10) + 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12\). \(y_2 = \frac{-(-10) - 14}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2\). Ответ: \(y_1 = 12\), \(y_2 = -2\). з) \(p^2 + p - 90 = 0\) Здесь \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -90\). Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{361} = 19\). \(p_1 = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9\). \(p_2 = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10\). Ответ: \(p_1 = 9\), \(p_2 = -10\). 535. Решите уравнение: а) \(14x^2 - 5x - 1 = 0\) Здесь \(a = 14\), \(b = -5\), \(c = -1\). Найдем дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-1) = 25 + 56 = 81\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{81} = 9\). \(x_1 = \frac{-(-5) + 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 + 9}{28} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}\). \(x_2 = \frac{-(-5) - 9}{2 \cdot 14} = \frac{5 - 9}{28} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}\). Ответ: \(x_1 = \frac{1}{2}\), \(x_2 = -\frac{1}{7}\). б) \(-y^2 + 3y + 5 = 0\) Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при \(y^2\) был положительным: \(y^2 - 3y - 5 = 0\) Здесь \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -5\). Найдем дискриминант: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}\). \(y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{29}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}\). Ответ: \(y_1 = \frac{3 + \sqrt{29}}{2}\), \(y_2 = \frac{3 - \sqrt{29}}{2}\). в) \(2x^2 + x + 67 = 0\) Здесь \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 67\). Найдем дискриминант: \(D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 67 = 1 - 8 \cdot 67 = 1 - 536 = -535\). Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: Нет действительных корней. г) \(1 - 18p + 81p^2 = 0\) Перепишем в стандартном виде: \(81p^2 - 18p + 1 = 0\). Здесь \(a = 81\), \(b = -18\), \(c = 1\). Найдем дискриминант: \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = 324 - 324 = 0\). Так как \(D = 0\), есть один корень (или два совпадающих): \(p = \frac{-(-18)}{2 \cdot 81} = \frac{18}{162} = \frac{1}{9}\). Ответ: \(p = \frac{1}{9}\). д) \(-11y + y^2 - 152 = 0\) Перепишем в стандартном виде: \(y^2 - 11y - 152 = 0\). Здесь \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = -152\). Найдем дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-152) = 121 + 608 = 729\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{729} = 27\). \(y_1 = \frac{-(-11) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 27}{2} = \frac{38}{2} = 19\). \(y_2 = \frac{-(-11) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 27}{2} = \frac{-16}{2} = -8\). Ответ: \(y_1 = 19\), \(y_2 = -8\). е) \(18 + 3x^2 - x = 0\) Перепишем в стандартном виде: \(3x^2 - x + 18 = 0\). Здесь \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 18\). Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 1 - 12 \cdot 18 = 1 - 216 = -215\). Так как \(D < 0\), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: Нет действительных корней. 536. Найдите корни уравнения: а) \(5x^2 - 11x + 2 = 0\) Здесь \(a = 5\), \(b = -11\), \(c = 2\). Найдем дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{81} = 9\). \(x_1 = \frac{-(-11) + 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2\). \(x_2 = \frac{-(-11) - 9}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\). Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \frac{1}{5}\). б) \(2p^2 + 7p - 30 = 0\) Здесь \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -30\). Найдем дискриминант: \(D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{289} = 17\). \(p_1 = \frac{-7 + 17}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\). \(p_2 = \frac{-7 - 17}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6\). Ответ: \(p_1 = \frac{5}{2}\), \(p_2 = -6\). в) \(9y^2 - 30y + 25 = 0\) Здесь \(a = 9\), \(b = -30\), \(c = 25\). Найдем дискриминант: \(D = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0\). Так как \(D = 0\), есть один корень: \(y = \frac{-(-30)}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}\). Ответ: \(y = \frac{5}{3}\). г) \(35x^2 + 2x - 1 = 0\) Здесь \(a = 35\), \(b = 2\), \(c = -1\). Найдем дискриминант: \(D = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(\sqrt{144} = 12\). \(x_1 = \frac{-2 + 12}{2 \cdot 35} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}\). \(x_2 = \frac{-2 - 12}{2 \cdot 35} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5}\). Ответ: \(x_1 = \frac{1}{7}\), \(x_2 = -\frac{1}{5}\). д) \(2y^2 - y - 5 = 0\) Здесь \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -5\). Найдем дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}\). \(y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}\). Ответ: \(y_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}\), \(y_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}\). е) \(16x^2 - 8x + 1 = 0\) Здесь \(a = 16\), \(b = -8\), \(c = 1\). Найдем дискриминант: \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0\). Так как \(D = 0\), есть один корень: \(x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). Ответ: \(x = \frac{1}{4}\). 537. При каких значениях \(x\): а) трехчлен \(x^2 - 11x + 31\) принимает значение, равное 1; Приравняем трехчлен к 1: \(x^2 - 11x + 31 = 1\) Перенесем 1 в левую часть: \(x^2 - 11x + 31 - 1 = 0\) \(x^2 - 11x + 30 = 0\) Здесь \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 30\). Найдем дискриминант: \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6\). \(x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Ответ: При \(x = 6\) и \(x = 5\). б) значения многочленов \(x^2 - 5x - 3\) и \(2x - 5\) равны; Приравняем многочлены: \(x^2 - 5x - 3 = 2x - 5\) Перенесем все члены в левую часть: \(x^2 - 5x - 2x - 3 + 5 = 0\) \(x^2 - 7x + 2 = 0\) Здесь \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 2\). Найдем дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41\). Так как \(D > 0\), есть два корня: \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}\). \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}\). Ответ: При \(x = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}\) и \(x = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}\). в) двучлен \(7x + 1\) равен трехчлену \(3x^2 - 2x + 1\); Приравняем двучлен и трехчлен: \(7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1\) Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при \(x^2\) был положительным: \(0 = 3x^2 - 2x - 7x + 1 - 1\) \(0 = 3x^2 - 9x\) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель \(3x\): \(3x(x - 3) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(3x = 0\) или \(x - 3 = 0\) \(x_1 = 0\) или \(x_2 = 3\) Ответ: При \(x = 0\) и \(x = 3\). г) трехчлен \(-2x^2 + 5x + 6\) равен двучлену \(4x^2 + 5x\)? Приравняем трехчлен и двучлен: \(-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x\) Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при \(x^2\) был положительным: \(0 = 4x^2 + 2x^2 + 5x - 5x - 6\) \(0 = 6x^2 - 6\) \(6x^2 = 6\) \(x^2 = 1\) Извлечем квадратный корень из обеих частей: \(x = \pm \sqrt{1}\) \(x_1 = 1\) или \(x_2 = -1\) Ответ: При \(x = 1\) и \(x = -1\). 538. При каких значениях \(x\) принимают равные значения: (К сожалению, текст задачи 538 обрезан. Если вы предоставите полный текст, я смогу ее решить.)