536. Найдите корни уравнения:
а) \(5x^2 - 11x + 2 = 0\)
Решение:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
В данном уравнении \(a = 5\), \(b = -11\), \(c = 2\).
Вычислим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81\)
Теперь найдем корни:
\(x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2\)
\(x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\)
Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 0.2\)
б) \(2p^2 + 7p - 30 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -30\).
\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 49 + 240 = 289\)
\(p_1 = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 17}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\)
\(p_2 = \frac{-7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 17}{4} = \frac{-24}{4} = -6\)
Ответ: \(p_1 = 2.5\), \(p_2 = -6\)
в) \(9y^2 - 30y + 25 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 9\), \(b = -30\), \(c = 25\).
\(D = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900 - 900 = 0\)
Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
\(y = \frac{-(-30) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 9} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3}\)
Ответ: \(y = \frac{5}{3}\)
г) \(35x^2 + 2x - 1 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 35\), \(b = 2\), \(c = -1\).
\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-1) = 4 + 140 = 144\)
\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 35} = \frac{-2 + 12}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}\)
\(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 35} = \frac{-2 - 12}{70} = \frac{-14}{70} = -\frac{1}{5}\)
Ответ: \(x_1 = \frac{1}{7}\), \(x_2 = -\frac{1}{5}\)
д) \(2y^2 - y - 5 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -5\).
\(D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 1 + 40 = 41\)
\(y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}\)
\(y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{41}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}\)
Ответ: \(y_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}\), \(y_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}\)
е) \(16x^2 - 8x + 1 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 16\), \(b = -8\), \(c = 1\).
\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 64 - 64 = 0\)
Уравнение имеет один корень.
\(x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 16} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\)
Ответ: \(x = \frac{1}{4}\)
537. При каких значениях \(x\):
а) трехчлен \(x^2 - 11x + 31\) принимает значение, равное 1;
Решение:
Приравняем трехчлен к 1:
\(x^2 - 11x + 31 = 1\)
\(x^2 - 11x + 31 - 1 = 0\)
\(x^2 - 11x + 30 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 30\).
\(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1\)
\(x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6\)
\(x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
Ответ: При \(x = 5\) и \(x = 6\).
б) значения многочленов \(x^2 - 5x - 3\) и \(2x - 5\) равны;
Решение:
Приравняем значения многочленов:
\(x^2 - 5x - 3 = 2x - 5\)
Перенесем все члены в левую часть:
\(x^2 - 5x - 2x - 3 + 5 = 0\)
\(x^2 - 7x + 2 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = 2\).
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 49 - 8 = 41\)
\(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}\)
\(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{41}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}\)
Ответ: При \(x = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}\) и \(x = \frac{7 - \sqrt{41}}{2}\).
в) двучлен \(7x + 1\) равен трехчлену \(3x^2 - 2x + 1\);
Решение:
Приравняем двучлен и трехчлен:
\(7x + 1 = 3x^2 - 2x + 1\)
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при \(x^2\) был положительным:
\(0 = 3x^2 - 2x - 7x + 1 - 1\)
\(3x^2 - 9x = 0\)
Вынесем общий множитель \(3x\):
\(3x(x - 3) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\(3x = 0 \Rightarrow x_1 = 0\)
\(x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3\)
Ответ: При \(x = 0\) и \(x = 3\).
г) трехчлен \(-2x^2 + 5x + 6\) равен двучлену \(4x^2 + 5x\)?
Решение:
Приравняем трехчлен и двучлен:
\(-2x^2 + 5x + 6 = 4x^2 + 5x\)
Перенесем все члены в правую часть:
\(0 = 4x^2 + 2x^2 + 5x - 5x - 6\)
\(6x^2 - 6 = 0\)
Разделим на 6:
\(x^2 - 1 = 0\)
\(x^2 = 1\)
\(x = \pm\sqrt{1}\)
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = -1\)
Ответ: При \(x = 1\) и \(x = -1\).
538. При каких значениях \(x\) принимают равные значения:
а) двучлены \(x^2 - 6x\) и \(5x - 18\);
Решение:
Приравняем двучлены:
\(x^2 - 6x = 5x - 18\)
Перенесем все члены в левую часть:
\(x^2 - 6x - 5x + 18 = 0\)
\(x^2 - 11x + 18 = 0\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 18\).
\(D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49\)
\(x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\)
\(x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Ответ: При \(x = 2\) и \(x = 9\).
б) трехчлены \(3x^2 - 4x + 3\) и \(x^2 + x + 1\)?
Решение:
Приравняем трехчлены:
\(3x^2 - 4x + 3 = x^2 + x + 1\)
Перенесем все члены в левую часть:
\(3x^2 - x^2 - 4x - x + 3 - 1 = 0\)
\(2x^2 - 5x + 2 = 0\)
Здесь \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = 2\).
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\)
\(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\)
\(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)
Ответ: При \(x = 0.5\) и \(x = 2\).
539. Решите уравнение, используя формулу (II):
Формула (II) обычно относится к формуле для корней квадратного уравнения, когда коэффициент \(b\) четный, то есть \(b = 2k\). В этом случае \(x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}\).
а) \(3x^2 - 14x + 16 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 3\), \(b = -14\), \(c = 16\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-14}{2} = -7\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 3 \cdot 16 = 49 - 48 = 1\)
\(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{3} = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3}\)
\(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{3} = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2\)
Ответ: \(x_1 = \frac{8}{3}\), \(x_2 = 2\)
б) \(5x^2 - 16x + 3 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 5\), \(b = -16\), \(c = 3\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-16}{2} = -8\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-8)^2 - 5 \cdot 3 = 64 - 15 = 49\)
\(x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{49}}{5} = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
\(x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{49}}{5} = \frac{8 - 7}{5} = \frac{1}{5} = 0.2\)
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 0.2\)
в) \(x^2 + 2x - 80 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -80\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{2}{2} = 1\).
\(D_1 = k^2 - ac = 1^2 - 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81\)
\(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{1} = -1 + 9 = 8\)
\(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{1} = -1 - 9 = -10\)
Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -10\)
г) \(x^2 - 22x - 23 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = -22\), \(c = -23\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-22}{2} = -11\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144\)
\(x_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{144}}{1} = 11 + 12 = 23\)
\(x_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{144}}{1} = 11 - 12 = -1\)
Ответ: \(x_1 = 23\), \(x_2 = -1\)
д) \(4x^2 - 36x + 77 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 4\), \(b = -36\), \(c = 77\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-36}{2} = -18\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-18)^2 - 4 \cdot 77 = 324 - 308 = 16\)
\(x_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{16}}{4} = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = 5.5\)
\(x_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{16}}{4} = \frac{18 - 4}{4} = \frac{14}{4} = 3.5\)
Ответ: \(x_1 = 5.5\), \(x_2 = 3.5\)
е) \(15y^2 - 22y - 37 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 15\), \(b = -22\), \(c = -37\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-22}{2} = -11\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676\)
\(y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{676}}{15} = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15}\)
\(y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{676}}{15} = \frac{11 - 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1\)
Ответ: \(y_1 = \frac{37}{15}\), \(y_2 = -1\)
ж) \(7z^2 - 20z + 14 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 7\), \(b = -20\), \(c = 14\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-20}{2} = -10\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-10)^2 - 7 \cdot 14 = 100 - 98 = 2\)
\(z_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{2}}{7} = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}\)
\(z_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{2}}{7} = \frac{10 - \sqrt{2}}{7}\)
Ответ: \(z_1 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}\), \(z_2 = \frac{10 - \sqrt{2}}{7}\)
з) \(y^2 - 10y - 25 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = -10\), \(c = -25\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = \frac{-10}{2} = -5\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-5)^2 - 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50\)
\(y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{50}}{1} = 5 + \sqrt{25 \cdot 2} = 5 + 5\sqrt{2}\)
\(y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{50}}{1} = 5 - \sqrt{25 \cdot 2} = 5 - 5\sqrt{2}\)
Ответ: \(y_1 = 5 + 5\sqrt{2}\), \(y_2 = 5 - 5\sqrt{2}\)
540. Решите уравнение:
а) \(8x^2 - 14x + 5 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 8\), \(b = -14\), \(c = 5\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = -7\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-7)^2 - 8 \cdot 5 = 49 - 40 = 9\)
\(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{8} = \frac{7 + 3}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25\)
\(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{8} = \frac{7 - 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5\)
Ответ: \(x_1 = 1.25\), \(x_2 = 0.5\)
б) \(12x^2 + 16x - 3 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 12\), \(b = 16\), \(c = -3\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = 8\).
\(D_1 = k^2 - ac = 8^2 - 12 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\)
\(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{12} = \frac{-8 + 10}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)
\(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{12} = \frac{-8 - 10}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1.5\)
Ответ: \(x_1 = \frac{1}{6}\), \(x_2 = -1.5\)
в) \(4x^2 + 4x + 1 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 4\), \(b = 4\), \(c = 1\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = 2\).
\(D_1 = k^2 - ac = 2^2 - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0\)
Уравнение имеет один корень.
\(x = \frac{-2 + \sqrt{0}}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5\)
Ответ: \(x = -0.5\)
г) \(x^2 - 8x - 84 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = -84\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = -4\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-4)^2 - 1 \cdot (-84) = 16 + 84 = 100\)
\(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{100}}{1} = 4 + 10 = 14\)
\(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{100}}{1} = 4 - 10 = -6\)
Ответ: \(x_1 = 14\), \(x_2 = -6\)
д) \(x^2 + 6x - 19 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -19\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = 3\).
\(D_1 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-19) = 9 + 19 = 28\)
\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{28}}{1} = -3 + \sqrt{4 \cdot 7} = -3 + 2\sqrt{7}\)
\(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{28}}{1} = -3 - \sqrt{4 \cdot 7} = -3 - 2\sqrt{7}\)
Ответ: \(x_1 = -3 + 2\sqrt{7}\), \(x_2 = -3 - 2\sqrt{7}\)
е) \(5x^2 + 26x - 24 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 5\), \(b = 26\), \(c = -24\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = 13\).
\(D_1 = k^2 - ac = 13^2 - 5 \cdot (-24) = 169 + 120 = 289\)
\(x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{5} = \frac{-13 + 17}{5} = \frac{4}{5} = 0.8\)
\(x_2 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{5} = \frac{-13 - 17}{5} = \frac{-30}{5} = -6\)
Ответ: \(x_1 = 0.8\), \(x_2 = -6\)
ж) \(x^2 - 34x + 289 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = -34\), \(c = 289\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = -17\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-17)^2 - 1 \cdot 289 = 289 - 289 = 0\)
Уравнение имеет один корень.
\(x = \frac{-(-17) + \sqrt{0}}{1} = 17\)
Ответ: \(x = 17\)
з) \(3x^2 + 32x + 80 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 3\), \(b = 32\), \(c = 80\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = 16\).
\(D_1 = k^2 - ac = 16^2 - 3 \cdot 80 = 256 - 240 = 16\)
\(x_1 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{3} = \frac{-16 + 4}{3} = \frac{-12}{3} = -4\)
\(x_2 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{3} = \frac{-16 - 4}{3} = \frac{-20}{3}\)
Ответ: \(x_1 = -4\), \(x_2 = -\frac{20}{3}\)
541. Решите уравнение:
а) \(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 2\), \(b = -5\), \(c = -3\).
\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\)
\(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
\(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} = -0.5\)
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -0.5\)
б) \(3x^2 - 8x + 5 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 3\), \(b = -8\), \(c = 5\). Коэффициент \(b\) четный, \(k = -4\).
\(D_1 = k^2 - ac = (-4)^2 - 3 \cdot 5 = 16 - 15 = 1\)
\(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{1}}{3} = \frac{4 + 1}{3} = \frac{5}{3}\)
\(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{1}}{3} = \frac{4 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1\)
Ответ: \(x_1 = \frac{5}{3}\), \(x_2 = 1\)
д) \(3t^2 - 3t + 1 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 3\), \(b = -3\), \(c = 1\).
\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3\)
Так как дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
е) \(x^2 + 9x - 22 = 0\)
Решение:
Здесь \(a = 1\), \(b = 9\), \(c = -22\).
\(D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169\)
\(x_1 = \frac{-9 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 13}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{-9 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 13}{2} = \frac{-22}{2} = -11\)
Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -11\)