Решение задачи по тригонометрии: sin и cos (180 - α)

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме 1. Какое из равенств верно? А) \( \cos (180^\circ - \alpha) = \cos \alpha \) Б) \( \cos (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \) В) \( \sin (180^\circ - \alpha) = \cos \alpha \) Г) \( \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \) Решение: Используем формулы приведения: \( \cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha \) \( \sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha \) Следовательно, верным является равенство Г). Ответ: Г) 2. Какое из неравенств верно? А) \( \sin 100^\circ \cos 110^\circ < 0 \) Б) \( \sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0 \) В) \( \sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0 \) Г) \( \sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0 \) Решение: Определим знаки тригонометрических функций: \( \sin 100^\circ \) (100° находится во II четверти) \( > 0 \) \( \cos 110^\circ \) (110° находится во II четверти) \( < 0 \) \( \cos 90^\circ = 0 \) \( \cos 10^\circ \) (10° находится в I четверти) \( > 0 \) Проверим варианты: А) \( \sin 100^\circ \cos 110^\circ \) — это \( (+) \cdot (-) = (-) \), то есть \( < 0 \). Это верно. Б) \( \sin 100^\circ \cos 110^\circ > 0 \) — это \( (-) > 0 \), неверно. В) \( \sin 100^\circ \cos 90^\circ > 0 \) — это \( (+) \cdot 0 = 0 \), а не \( > 0 \), неверно. Г) \( \sin 100^\circ \cos 10^\circ < 0 \) — это \( (+) \cdot (+) = (+) \), а не \( < 0 \), неверно. Ответ: А) 3. Чему равна третья сторона треугольника, если две его стороны равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120°? А) \( \sqrt{97} \) см Б) 7 см В) 9 см Г) \( \sqrt{32} \) см Решение: Используем теорему косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \). Пусть \( a = 3 \) см, \( b = 8 \) см, \( \gamma = 120^\circ \). \( c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ \) Мы знаем, что \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \). \( c^2 = 9 + 64 - 2 \cdot 24 \cdot (-\frac{1}{2}) \) \( c^2 = 73 - 48 \cdot (-\frac{1}{2}) \) \( c^2 = 73 + 24 \) \( c^2 = 97 \) \( c = \sqrt{97} \) см. Ответ: А) 4. Каким является угол, лежащий против большей стороны треугольника со сторонами 4 см, 7 см и 9 см? А) острым Б) тупым В) прямым Г) невозможным установить Решение: Пусть стороны треугольника \( a = 4 \) см, \( b = 7 \) см, \( c = 9 \) см. Большая сторона — 9 см. Угол, лежащий против неё, обозначим \( \gamma \). Используем теорему косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \). Отсюда \( \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \). \( \cos \gamma = \frac{4^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} \) \( \cos \gamma = \frac{16 + 49 - 81}{56} \) \( \cos \gamma = \frac{65 - 81}{56} \) \( \cos \gamma = \frac{-16}{56} \) \( \cos \gamma = -\frac{2}{7} \) Так как \( \cos \gamma < 0 \), угол \( \gamma \) является тупым. Ответ: Б) 5. Угол между двумя сторонами треугольника, одна из которых на 10 см больше другой, равен 60°, а третья сторона равна 14 см. Какова длина наибольшей стороны треугольника? А) 16 см Б) 14 см В) 18 см Г) 15 см Решение: Пусть стороны треугольника \( x \) и \( x+10 \). Угол между ними \( 60^\circ \). Третья сторона 14 см. Используем теорему косинусов: \( 14^2 = x^2 + (x+10)^2 - 2 \cdot x \cdot (x+10) \cdot \cos 60^\circ \). Мы знаем, что \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). \( 196 = x^2 + x^2 + 20x + 100 - 2x(x+10) \cdot \frac{1}{2} \) \( 196 = 2x^2 + 20x + 100 - x(x+10) \) \( 196 = 2x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x \) \( 196 = x^2 + 10x + 100 \) \( x^2 + 10x + 100 - 196 = 0 \) \( x^2 + 10x - 96 = 0 \) Решим квадратное уравнение: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \). \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 22}{2} \). \( x_1 = \frac{-10 + 22}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). \( x_2 = \frac{-10 - 22}{2} = \frac{-32}{2} = -16 \) (не подходит, так как длина стороны не может быть отрицательной). Итак, одна сторона 6 см, другая \( 6+10 = 16 \) см. Третья сторона 14 см. Наибольшая сторона — 16 см. Ответ: А) 6. Диагонали параллелограмма равны 17 см и 19 см, а его стороны относятся как 2 : 3. Чему равен периметр параллелограмма? А) 25 см Б) 30 см В) 40 см Г) 50 см Решение: Пусть стороны параллелограмма \( a \) и \( b \). По условию \( a:b = 2:3 \), то есть \( a = 2k \), \( b = 3k \). Диагонали \( d_1 = 17 \) см, \( d_2 = 19 \) см. Используем свойство параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон. \( d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \) \( 17^2 + 19^2 = 2((2k)^2 + (3k)^2) \) \( 289 + 361 = 2(4k^2 + 9k^2) \) \( 650 = 2(13k^2) \) \( 650 = 26k^2 \) \( k^2 = \frac{650}{26} \) \( k^2 = 25 \) \( k = 5 \) (так как \( k \) — это коэффициент, он должен быть положительным). Тогда стороны параллелограмма: \( a = 2k = 2 \cdot 5 = 10 \) см. \( b = 3k = 3 \cdot 5 = 15 \) см. Периметр параллелограмма \( P = 2(a+b) \). \( P = 2(10 + 15) = 2 \cdot 25 = 50 \) см. Ответ: Г) 7. В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AB = 8 \) см, \( \angle C = 30^\circ \), \( \angle A = 45^\circ \). Чему равна сторона \( BC \)? А) \( 8\sqrt{2} \) см Б) \( 16\sqrt{2} \) см В) \( 12\sqrt{2} \) см Г) \( 15 \) см Решение: Используем теорему синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \). Нам дано: \( c = AB = 8 \) см, \( \angle C = 30^\circ \), \( \angle A = 45^\circ \). Нужно найти сторону \( a = BC \). По теореме синусов: \( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \). \( \frac{BC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 30^\circ} \) Мы знаем, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). \( \frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}} \) \( BC = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} \) \( BC = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \) \( BC = 8\sqrt{2} \) см. Ответ: А) 8. Чему равно отношение \( AC:BC \) сторон треугольника \( ABC \), если \( \angle A = 120^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \)? А) \( \sqrt{3} \) Б) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) В) \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) Г) \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) Решение: Используем теорему синусов: \( \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \). Нам нужно найти отношение \( \frac{AC}{BC} \). Из теоремы синусов: \( \frac{AC}{BC} = \frac{\sin B}{\sin A} \). Дано: \( \angle A = 120^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \). \( \frac{AC}{BC} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} \) Мы знаем, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). \( \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \): \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Ответ: В) 9. В треугольнике \( ABC \), \( AB = 4\sqrt{2} \) см, \( \angle C = 135^\circ \). Чему равен диаметр окружности, описанной около треугольника? А) 4 см Б) 8 см В) 16 см Г) 2 см Решение: Используем расширенную теорему синусов: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где \( R \) — радиус описанной окружности, а \( 2R \) — диаметр. Нам дано: сторона \( c = AB = 4\sqrt{2} \) см, противолежащий угол \( \angle C = 135^\circ \). Диаметр \( 2R = \frac{c}{\sin C} \). \( 2R = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} \) Мы знаем, что \( \sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \( 2R = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \) \( 2R = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \) \( 2R = 4 \cdot 2 \) \( 2R = 8 \) см. Ответ: Б) 10. Какое наибольшее значение может принимать площадь треугольника со сторонами 8 см и 12 см? А) \( 96 \) см\( ^2 \) Б) \( 48 \) см\( ^2 \) В) \( 24 \) см\( ^2 \) Г) \( 12 \) см\( ^2 \) Решение: Площадь треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \), где \( a \) и \( b \) — две стороны, а \( \gamma \) — угол между ними. Дано: \( a = 8 \) см, \( b = 12 \) см. \( S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin \gamma \) \( S = 48 \sin \gamma \) Площадь будет наибольшей, когда \( \sin \gamma \) принимает свое максимальное значение. Максимальное значение \( \sin \gamma \) равно 1 (это происходит, когда \( \gamma = 90^\circ \), то есть треугольник прямоугольный). Наибольшая площадь \( S_{max} = 48 \cdot 1 = 48 \) см\( ^2 \). Ответ: Б) 11. Чему равна сумма радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 25 см, 33 см и 52 см? А) 36 см Б) 30 см В) 32,5 см Г) 38,5 см Решение: Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона. Стороны: \( a = 25 \), \( b = 33 \), \( c = 52 \). Полупериметр \( p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+33+52}{2} = \frac{110}{2} = 55 \) см. Площадь \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) \( S = \sqrt{55(55-25)(55-33)(55-52)} \) \( S = \sqrt{55 \cdot 30 \cdot 22 \cdot 3} \) \( S = \sqrt{(5 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 11) \cdot 3} \) \( S = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11^2} \) \( S = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 330 \) см\( ^2 \). Теперь найдем радиус вписанной окружности \( r \). \( S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} \) \( r = \frac{330}{55} = 6 \) см. Теперь найдем радиус описанной окружности \( R \). \( S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow R = \frac{abc}{4S} \) \( R = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{4 \cdot 330} \) \( R = \frac{25 \cdot 33 \cdot 52}{1320} \) Сократим: \( 33 \cdot 52 = 1716 \). \( R = \frac{25 \cdot 1716}{1320} \) \( R = \frac{42900}{1320} = \frac{4290}{132} \) Разделим на 6: \( \frac{715}{22} \) Разделим на 11: \( \frac{65}{2} = 32.5 \) см. Сумма радиусов \( r + R = 6 + 32.5 = 38.5 \) см. Ответ: Г)