Решение задачи: Плотность распределения случайной величины

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 11. Случайная величина \(X\) задана своей плотностью распределения: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le -2 \\ \frac{C}{\pi \sqrt{4-x^2}}, & -2 < x \le 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases} \] Найти параметр \(C\), функцию распределения случайной величины \(F(x)\), математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, вероятность попадания этой случайной величины в интервал \((-1;1)\). Построить графики функций \(f(x)\), \(F(x)\). Решение: 1. Найдём параметр \(C\). Для любой плотности распределения должно выполняться условие: \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1 \] В нашем случае это сводится к интегралу: \[ \int_{-2}^{2} \frac{C}{\pi \sqrt{4-x^2}} dx = 1 \] Вынесем константы за знак интеграла: \[ \frac{C}{\pi} \int_{-2}^{2} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = 1 \] Воспользуемся табличным интегралом: \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C_0\). В нашем случае \(a=2\). \[ \frac{C}{\pi} \left[ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{-2}^{2} = 1 \] Подставим пределы интегрирования: \[ \frac{C}{\pi} \left( \arcsin\left(\frac{2}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{-2}{2}\right) \right) = 1 \] \[ \frac{C}{\pi} \left( \arcsin(1) - \arcsin(-1) \right) = 1 \] Известно, что \(\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}\) и \(\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}\). \[ \frac{C}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = 1 \] \[ \frac{C}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) = 1 \] \[ \frac{C}{\pi} \cdot \pi = 1 \] \[ C = 1 \] Итак, плотность распределения имеет вид: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & x \le -2 \\ \frac{1}{\pi \sqrt{4-x^2}}, & -2 < x \le 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases} \] 2. Найдём функцию распределения \(F(x)\). Функция распределения определяется как \(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt\). а) Если \(x \le -2\): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0 \] б) Если \(-2 < x \le 2\): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{-2} 0 dt + \int_{-2}^{x} \frac{1}{\pi \sqrt{4-t^2}} dt \] \[ F(x) = 0 + \frac{1}{\pi} \left[ \arcsin\left(\frac{t}{2}\right) \right]_{-2}^{x} \] \[ F(x) = \frac{1}{\pi} \left( \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{-2}{2}\right) \right) \] \[ F(x) = \frac{1}{\pi} \left( \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \] \[ F(x) = \frac{1}{\pi} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2} \] в) Если \(x > 2\): \[ F(x) = \int_{-\infty}^{2} f(t) dt + \int_{2}^{x} 0 dt \] Мы уже знаем, что \(\int_{-\infty}^{2} f(t) dt = 1\) (это полное условие нормировки). \[ F(x) = 1 + 0 = 1 \] Таким образом, функция распределения: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le -2 \\ \frac{1}{\pi} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}, & -2 < x \le 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases} \] 3. Найдём математическое ожидание \(M(X)\). \[ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \] \[ M(X) = \int_{-2}^{2} x \cdot \frac{1}{\pi \sqrt{4-x^2}} dx \] Заметим, что подынтегральная функция \(g(x) = \frac{x}{\pi \sqrt{4-x^2}}\) является нечётной функцией, так как \(g(-x) = \frac{-x}{\pi \sqrt{4-(-x)^2}} = -\frac{x}{\pi \sqrt{4-x^2}} = -g(x)\). Интеграл от нечётной функции по симметричному интервалу \([-a, a]\) равен нулю. \[ M(X) = 0 \] 4. Найдём дисперсию \(D(X)\). \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \] Так как \(M(X) = 0\), то \(D(X) = M(X^2)\). \[ M(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx \] \[ M(X^2) = \int_{-2}^{2} x^2 \cdot \frac{1}{\pi \sqrt{4-x^2}} dx \] Для вычисления этого интеграла сделаем замену переменной: \(x = 2 \sin t\). Тогда \(dx = 2 \cos t dt\). При \(x = -2\), \(-2 = 2 \sin t \Rightarrow \sin t = -1 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{2}\). При \(x = 2\), \(2 = 2 \sin t \Rightarrow \sin t = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}\). \[ \sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-(2 \sin t)^2} = \sqrt{4-4 \sin^2 t} = \sqrt{4(1-\sin^2 t)} = \sqrt{4 \cos^2 t} = 2 |\cos t| \] На интервале \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) \(\cos t \ge 0\), поэтому \(2 |\cos t| = 2 \cos t\). \[ M(X^2) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin t)^2 \cdot \frac{1}{\pi \cdot 2 \cos t} \cdot 2 \cos t dt \] \[ M(X^2) = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 \sin^2 t \cdot \frac{1}{\pi} dt \] \[ M(X^2) = \frac{4}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt \] Используем формулу понижения степени: \(\sin^2 t = \frac{1-\cos(2t)}{2}\). \[ M(X^2) = \frac{4}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos(2t)}{2} dt \] \[ M(X^2) = \frac{2}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos(2t)) dt \] \[ M(X^2) = \frac{2}{\pi} \left[ t - \frac{1}{2} \sin(2t) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \] \[ M(X^2) = \frac{2}{\pi} \left( \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin(\pi) \right) - \left( -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin(-\pi) \right) \right) \] Так как \(\sin(\pi) = 0\) и \(\sin(-\pi) = 0\): \[ M(X^2) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - 0 - \left( -\frac{\pi}{2} - 0 \right) \right) \] \[ M(X^2) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \right) \] \[ M(X^2) = \frac{2}{\pi} \cdot \pi = 2 \] Следовательно, дисперсия \(D(X) = 2\). 5. Найдём среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X)\). \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \] \[ \sigma(X) = \sqrt{2} \] 6. Найдём вероятность попадания случайной величины в интервал \((-1;1)\). \[ P(-1 < X < 1) = \int_{-1}^{1} f(x) dx \] \[ P(-1 < X < 1) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{\pi \sqrt{4-x^2}} dx \] \[ P(-1 < X < 1) = \frac{1}{\pi} \left[ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{-1}^{1} \] \[ P(-1 < X < 1) = \frac{1}{\pi} \left( \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{-1}{2}\right) \right) \] Известно, что \(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}\) и \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\). \[ P(-1 < X < 1) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) \] \[ P(-1 < X < 1) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) \] \[ P(-1 < X < 1) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{2\pi}{6} \] \[ P(-1 < X < 1) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{3} \] 7. Построим графики функций \(f(x)\) и \(F(x)\). График функции \(f(x)\): Функция \(f(x)\) определена на интервале \((-2, 2]\) как \(\frac{1}{\pi \sqrt{4-x^2}}\). При \(x \to -2^+\), \(f(x) \to +\infty\). При \(x \to 2^-\), \(f(x) \to +\infty\). При \(x=0\), \(f(0) = \frac{1}{\pi \sqrt{4-0}} = \frac{1}{2\pi} \approx 0.159\). Это график, похожий на половину эллипса, но с вертикальными асимптотами на концах интервала. (Здесь должен быть рисунок графика \(f(x)\). Для школьной тетради можно нарисовать от руки.) На оси X отметить точки -2 и 2. На оси Y отметить значение \(1/(2\pi)\). График будет симметричен относительно оси Y, с минимумом в точке \((0, 1/(2\pi))\) и уходящий в бесконечность при приближении к \(x=-2\) и \(x=2\). Вне интервала \((-2, 2]\) функция равна 0. График функции \(F(x)\): При \(x \le -2\), \(F(x) = 0\). При \(-2 < x \le 2\), \(F(x) = \frac{1}{\pi} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}\). При \(x = -2\), \(F(-2) = \frac{1}{\pi} \arcsin(-1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{\pi} \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\). При \(x = 0\), \(F(0) = \frac{1}{\pi} \arcsin(0) + \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\). При \(x = 2\), \(F(2) = \frac{1}{\pi} \arcsin(1) + \frac{1}{2} = \frac{1}{\pi} \left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\). При \(x > 2\), \(F(x) = 1\). Это монотонно возрастающая функция, которая начинается с 0, плавно поднимается до 1 на интервале \((-2, 2]\) и остается равной 1 после \(x=2\). (Здесь должен быть рисунок графика \(F(x)\). Для школьной тетради можно нарисовать от руки.) На оси X отметить точки -2 и 2. На оси Y отметить значения 0, 0.5 и 1. График будет горизонтальной линией на уровне 0 до \(x=-2\), затем плавно возрастающей кривой от 0 до 1 на интервале \((-2, 2]\), проходящей через \((0, 0.5)\), и затем горизонтальной линией на уровне 1 после \(x=2\). Ответы: 1. Параметр \(C = 1\). 2. Функция распределения \(F(x)\): \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x \le -2 \\ \frac{1}{\pi} \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2}, & -2 < x \le 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases} \] 3. Математическое ожидание \(M(X) = 0\). 4. Дисперсия \(D(X) = 2\). 5. Среднее квадратическое отклонение \(\sigma(X) = \sqrt{2}\). 6. Вероятность попадания в интервал \((-1;1)\) равна \(\frac{1}{3}\). 7. Графики функций \(f(x)\) и \(F(x)\) приведены выше в описании.