Условие задания:
Математический маятник имеет длину 9,8 см. Определи частоту вынуждающей силы, при которой наступит резонанс колебаний маятника. При расчётах прими \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\), \(\pi = 3,14\). (Ответ округли до сотых.)
Решение:
1. Понимание резонанса: Резонанс наступает, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной (резонансной) частотой колебательной системы. В данном случае, нам нужно найти собственную частоту математического маятника.
2. Формула для периода математического маятника: Период колебаний математического маятника \(T\) определяется формулой:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\]где:
- \(L\) — длина маятника
- \(g\) — ускорение свободного падения
- \(\pi\) — число "пи"
3. Формула для частоты: Частота колебаний \(\nu\) (ню) связана с периодом \(T\) соотношением:
\[\nu = \frac{1}{T}\]Подставим формулу для \(T\) в формулу для \(\nu\):
\[\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}\]Эту формулу можно переписать как:
\[\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}\]4. Перевод единиц измерения: Длина маятника дана в сантиметрах, но в формуле \(g\) дано в метрах на секунду в квадрате. Поэтому длину маятника нужно перевести в метры:
\[L = 9,8 \text{ см} = 0,098 \text{ м}\]5. Подстановка значений и расчет:
Дано:
- \(L = 0,098 \text{ м}\)
- \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\)
- \(\pi = 3,14\)
Подставляем значения в формулу для частоты:
\[\nu = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8}{0,098}}\]Сначала вычислим значение под корнем:
\[\frac{9,8}{0,098} = 100\]Теперь извлечем квадратный корень:
\[\sqrt{100} = 10\]Далее вычислим знаменатель:
\[2 \cdot 3,14 = 6,28\]Теперь найдем частоту:
\[\nu = \frac{10}{6,28} \approx 1,59239\]6. Округление до сотых: В задании сказано округлить ответ до сотых. Третья цифра после запятой — 2, поэтому округляем вторую цифру без изменения.
\[\nu \approx 1,59 \text{ Гц}\]Ответ:
Частота вынуждающей силы, при которой наступит резонанс, составляет 1,59 Гц.