Условие задания:
На конец пружины жёсткостью 148 Н/м горизонтального маятника, груз которого имеет массу 5,5 кг, действует переменная сила, частота колебаний которой равна 15 Гц. Определи, будет ли при этом наблюдаться резонанс. При расчётах прими \(\pi = 3,14\). (Вычисления проводи с точностью до сотых. Ответ поясни, вставив пропущенные слова в заготовленную форму.)
Ответ: частота собственных колебаний пружинного маятника равна _______ Гц.
Поскольку частота вынуждающей силы [выбор] частоте собственных колебаний маятника, резонанс [выбор] наблюдаться.
Решение:
1. Понимание резонанса: Резонанс возникает, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой колебательной системы. Чтобы определить, будет ли резонанс, нам нужно сравнить частоту вынуждающей силы (15 Гц) с собственной частотой пружинного маятника.
2. Формула для периода пружинного маятника: Период колебаний пружинного маятника \(T\) определяется формулой:
\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]где:
- \(m\) — масса груза
- \(k\) — жёсткость пружины
- \(\pi\) — число "пи"
3. Формула для частоты: Частота колебаний \(\nu\) (ню) связана с периодом \(T\) соотношением:
\[\nu = \frac{1}{T}\]Подставим формулу для \(T\) в формулу для \(\nu\):
\[\nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}}\]Эту формулу можно переписать как:
\[\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\]4. Подстановка значений и расчет собственной частоты:
Дано:
- \(k = 148 \text{ Н/м}\)
- \(m = 5,5 \text{ кг}\)
- \(\pi = 3,14\)
Подставляем значения в формулу для собственной частоты:
\[\nu = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{148}{5,5}}\]Сначала вычислим значение под корнем:
\[\frac{148}{5,5} \approx 26,90909\]Теперь извлечем квадратный корень:
\[\sqrt{26,90909} \approx 5,18739\]Далее вычислим знаменатель:
\[2 \cdot 3,14 = 6,28\]Теперь найдем собственную частоту:
\[\nu = \frac{5,18739}{6,28} \approx 0,82601\]5. Округление до сотых: В задании сказано округлить вычисления до сотых. Третья цифра после запятой — 6, поэтому округляем вторую цифру в большую сторону.
\[\nu \approx 0,83 \text{ Гц}\]6. Сравнение частот и вывод о резонансе:
Собственная частота пружинного маятника \(\nu_{собств} \approx 0,83 \text{ Гц}\).
Частота вынуждающей силы \(\nu_{вын} = 15 \text{ Гц}\).
Очевидно, что \(\nu_{вын} \neq \nu_{собств}\), то есть 15 Гц значительно отличается от 0,83 Гц.
Поскольку частоты не совпадают, резонанс наблюдаться не будет.
Заполнение пропусков:
Ответ: частота собственных колебаний пружинного маятника равна 0,83 Гц.
Поскольку частота вынуждающей силы не равна частоте собственных колебаний маятника, резонанс не будет наблюдаться.
Ответ:
Частота собственных колебаний пружинного маятника равна 0,83 Гц.
Поскольку частота вынуждающей силы не равна частоте собственных колебаний маятника, резонанс не будет наблюдаться.