Решение задачи: Вероятность попадания точки в треугольник, образованный медианой

Хорошо, давайте решим задачи по геометрической вероятности. Геометрическая вероятность. Случайный выбор точки из фигуры на плоскости. Вариант 1. 1. Внутри треугольника ABC случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка попала в треугольник ABM, где AM — медиана треугольника ABC. Решение: Медиана AM делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника: ABM и AMC. Это означает, что площади этих треугольников равны. Площадь треугольника ABM равна половине площади треугольника ABC. Пусть \(S_{ABC}\) — площадь треугольника ABC, а \(S_{ABM}\) — площадь треугольника ABM. Тогда \(S_{ABM} = \frac{1}{2} S_{ABC}\). Геометрическая вероятность того, что точка попадет в треугольник ABM, равна отношению площади треугольника ABM к площади треугольника ABC. \(P = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} S_{ABC}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}\). Ответ: \( \frac{1}{2} \). 2. Рассмотрим прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см. Определи вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет находиться внутри вписанного в него круга. Решение: В прямоугольник можно вписать круг только в том случае, если он является квадратом. В данном случае стороны прямоугольника 4 см и 2 см, что означает, что в него нельзя вписать круг, который касался бы всех четырех сторон. Вероятно, в условии задачи подразумевается, что круг вписан в квадрат, или что круг вписан в прямоугольник таким образом, что его диаметр равен меньшей стороне прямоугольника. Давайте предположим, что круг вписан в прямоугольник так, что его диаметр равен меньшей стороне прямоугольника. Меньшая сторона прямоугольника равна 2 см. Значит, диаметр вписанного круга равен 2 см, а радиус \(R = 1\) см. Площадь прямоугольника \(S_{пр} = 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2\). Площадь вписанного круга \(S_{кр} = \pi R^2 = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 = \pi \text{ см}^2\). Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет находиться внутри вписанного круга, равна отношению площади круга к площади прямоугольника. \(P = \frac{S_{кр}}{S_{пр}} = \frac{\pi}{8}\). Ответ: \( \frac{\pi}{8} \). 3. Внутри прямоугольника со сторонами 5 см и 10 см находится квадрат со стороной \( \sqrt{3} \) см. Какова вероятность, что случайная точка, выбранная внутри прямоугольника, попадёт в этот квадрат? Решение: Площадь прямоугольника \(S_{пр} = 5 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 50 \text{ см}^2\). Площадь квадрата \(S_{кв} = (\sqrt{3} \text{ см})^2 = 3 \text{ см}^2\). Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника попадёт в квадрат, равна отношению площади квадрата к площади прямоугольника. \(P = \frac{S_{кв}}{S_{пр}} = \frac{3}{50}\). Ответ: \( \frac{3}{50} \). 4. В прямоугольнике 12x20 по центру расположен эллипс с полуосями 5 и 3. Найти вероятность попадания точки в этот эллипс. Решение: Площадь прямоугольника \(S_{пр} = 12 \cdot 20 = 240\). Полуоси эллипса \(a = 5\) и \(b = 3\). Площадь эллипса \(S_{эл} = \pi ab = \pi \cdot 5 \cdot 3 = 15\pi\). Вероятность попадания точки в эллипс равна отношению площади эллипса к площади прямоугольника. \(P = \frac{S_{эл}}{S_{пр}} = \frac{15\pi}{240}\). Сократим дробь: \(P = \frac{15\pi}{240} = \frac{\pi}{16}\). Ответ: \( \frac{\pi}{16} \). 5. В квадрате ABCD случайным образом выбирается точка X. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику ADM, где точка M: а) середина стороны CD; б) делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C; в) делит отрезок CD в отношении m:n, считая от точки C. Решение: Пусть сторона квадрата ABCD равна \(a\). Тогда площадь квадрата \(S_{ABCD} = a^2\). а) Точка M — середина стороны CD. Треугольник ADM имеет основание AD, равное \(a\), и высоту, равную стороне квадрата, то есть \(a\). Площадь треугольника ADM \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \text{расстояние от M до AD}\). Так как M лежит на CD, а AD параллельна BC, то высота треугольника ADM, опущенная из M на AD, равна стороне квадрата \(a\). \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2\). Вероятность \(P = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} a^2}{a^2} = \frac{1}{2}\). б) Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C. Это означает, что \(CM : MD = 1 : 2\). Так как \(CD = a\), то \(CM = \frac{1}{3} CD = \frac{1}{3} a\), а \(MD = \frac{2}{3} CD = \frac{2}{3} a\). Треугольник ADM имеет основание AD, равное \(a\). Высота треугольника ADM, опущенная из M на AD, равна стороне квадрата \(a\). Площадь треугольника ADM \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2\). (Обратите внимание, что положение точки M на CD не влияет на площадь треугольника ADM, если AD является основанием, а высота равна стороне квадрата. Если бы основанием был MD, то площадь была бы другой.) Вероятность \(P = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} a^2}{a^2} = \frac{1}{2}\). в) Точка M делит отрезок CD в отношении m:n, считая от точки C. Это означает, что \(CM : MD = m : n\). Аналогично предыдущим пунктам, площадь треугольника ADM, где AD — основание, а высота равна стороне квадрата \(a\), будет \(S_{ADM} = \frac{1}{2} a^2\). Вероятность \(P = \frac{S_{ADM}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} a^2}{a^2} = \frac{1}{2}\). Ответ: а) \( \frac{1}{2} \); б) \( \frac{1}{2} \); в) \( \frac{1}{2} \). 6. В прямоугольнике со сторонами 6 см и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника не принадлежит ни одному из этих кругов. Решение: Площадь прямоугольника \(S_{пр} = 6 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 120 \text{ см}^2\). Диаметр каждого круга \(D = 3\) см, значит, радиус \(R = \frac{3}{2} = 1.5\) см. Площадь одного круга \(S_{кр} = \pi R^2 = \pi \cdot (1.5)^2 = 2.25\pi \text{ см}^2\). Так как круги непересекающиеся, общая площадь двух кругов \(S_{2кр} = 2 \cdot S_{кр} = 2 \cdot 2.25\pi = 4.5\pi \text{ см}^2\). Вероятность того, что точка попадёт в один из кругов, равна \(P_{вкр} = \frac{S_{2кр}}{S_{пр}} = \frac{4.5\pi}{120}\). Сократим дробь: \(P_{вкр} = \frac{4.5\pi}{120} = \frac{9\pi}{240} = \frac{3\pi}{80}\). Вероятность того, что точка не принадлежит ни одному из этих кругов, равна \(P_{некр} = 1 - P_{вкр}\). \(P_{некр} = 1 - \frac{3\pi}{80}\). Ответ: \( 1 - \frac{3\pi}{80} \). 7. В квадрате со стороной 10 случайно выбирается точка. Найти вероятность ее попадания внутрь вписанного круга. Решение: Сторона квадрата \(a = 10\). Площадь квадрата \(S_{кв} = a^2 = 10^2 = 100\). Вписанный круг в квадрат имеет диаметр, равный стороне квадрата. Диаметр круга \(D = 10\), радиус \(R = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5\). Площадь вписанного круга \(S_{кр} = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi\). Вероятность попадания точки внутрь вписанного круга равна отношению площади круга к площади квадрата. \(P = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{25\pi}{100} = \frac{\pi}{4}\). Ответ: \( \frac{\pi}{4} \). 8. В квадрате со стороной 14 см расположен круг радиуса 4 см, касающийся двух смежных сторон квадрата. Случайным образом в квадрате выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри круга. Решение: Сторона квадрата \(a = 14\) см. Площадь квадрата \(S_{кв} = a^2 = 14^2 = 196 \text{ см}^2\). Радиус круга \(R = 4\) см. Площадь круга \(S_{кр} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \text{ см}^2\). Вероятность того, что случайно выбранная точка в квадрате окажется внутри круга, равна отношению площади круга к площади квадрата. \(P = \frac{S_{кр}}{S_{кв}} = \frac{16\pi}{196}\). Сократим дробь: \(P = \frac{16\pi}{196} = \frac{4\pi}{49}\). Ответ: \( \frac{4\pi}{49} \).