Решение задачи по геометрии: Углы и равенство треугольников

Решение задачи. На сторонах угла \( \angle ABC \) точки \( A \) и \( C \) находятся на равных расстояниях от вершины угла \( BA = BC \). Через эти точки к сторонам угла проведены перпендикуляры \( AE \perp BD \), \( CD \perp BE \). 1. Докажи равенство треугольников \( \triangle AFD \) и \( \triangle CFE \). 2. Определи величину угла, под которым перпендикуляр \( CD \) пересекает \( BA \), если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \). Решение. 1. Назови треугольники, равенство которых позволит доказать равенство \( \triangle AFD \) и \( \triangle CFE \): \( \triangle BAE \) и \( \triangle BCD \). По какому признаку доказывается это равенство? По второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отметь элементы, равенство которых в этих треугольниках позволяет применить выбранный признак. Углы: \( \angle ABE \) (общий угол) \( \angle EAB \) (прямой угол, так как \( AE \perp BD \)) \( \angle BCD \) (прямой угол, так как \( CD \perp BE \)) Стороны: \( BA = BC \) (дано) Теперь докажем равенство \( \triangle AFD \) и \( \triangle CFE \). По какому признаку доказывается равенство \( \triangle AFD \) и \( \triangle CFE \)? По второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отметь элементы, равенство которых в треугольниках \( \triangle AFD \) и \( \triangle CFE \) позволяет применить выбранный признак. Углы: \( \angle DFA = \angle CFE \) (вертикальные углы) \( \angle FAD = \angle FCE \) (из равенства \( \triangle BAE \) и \( \triangle BCD \) следует, что \( \angle BAE = \angle BCD \). Так как \( \angle BAE = \angle FAD \) и \( \angle BCD = \angle FCE \), то \( \angle FAD = \angle FCE \)) Стороны: \( AD = CE \) (из равенства \( \triangle BAE \) и \( \triangle BCD \) следует, что \( BA = BC \) и \( BE = BD \). Тогда \( AD = BD - BA \) и \( CE = BE - BC \). Так как \( BA = BC \) и \( BD = BE \), то \( AD = CE \)). Таким образом, \( \triangle AFD = \triangle CFE \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 2. Определи величину угла, под которым перпендикуляр \( CD \) пересекает \( BA \), если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \). Пусть \( AE \) пересекает \( BC \) в точке \( K \). Тогда \( \angle AKB = 67^\circ \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle BKA \) (так как \( AE \perp BD \), то \( \angle BKA \) - это угол между \( AE \) и \( BC \), а \( \angle BAK \) - это угол \( \angle BAE \), который является прямым, если \( AE \) перпендикулярна \( BA \). Но в условии сказано \( AE \perp BD \), то есть \( AE \) перпендикулярна прямой, на которой лежит \( BA \). Значит, \( \angle BAE = 90^\circ \). Тогда в \( \triangle BAE \): \( \angle ABE = 180^\circ - \angle BAE - \angle BEA = 180^\circ - 90^\circ - \angle BEA = 90^\circ - \angle BEA \). Из условия \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \). Это означает, что \( \angle AKB = 67^\circ \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle BAE \) (угол \( \angle BAE = 90^\circ \)): \( \angle ABE = 180^\circ - 90^\circ - \angle BEA = 90^\circ - \angle BEA \). В треугольнике \( \triangle BKA \): \( \angle KBA = \angle ABE \). \( \angle BKA = 67^\circ \). \( \angle BAK = 180^\circ - \angle KBA - \angle BKA \). Поскольку \( AE \perp BD \), то \( \angle BAE = 90^\circ \). В прямоугольном треугольнике \( \triangle BAE \): \( \angle ABE = 90^\circ - \angle BEA \). Угол, под которым \( AE \) пересекает \( BC \), это \( \angle AKB = 67^\circ \). В \( \triangle BKA \): \( \angle KBA = \angle ABE \). \( \angle BAK = 180^\circ - \angle KBA - \angle BKA = 180^\circ - \angle ABE - 67^\circ = 113^\circ - \angle ABE \). Но \( \angle BAK \) - это часть угла \( \angle BAE \), который равен \( 90^\circ \). Это означает, что \( \angle BAK \) не может быть \( 113^\circ - \angle ABE \). Давайте перечитаем условие: "если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \)". Это означает, что угол между прямыми \( AE \) и \( BC \) равен \( 67^\circ \). Пусть точка пересечения \( AE \) и \( BC \) будет \( K \). Тогда \( \angle AKB = 67^\circ \) или \( \angle EKC = 67^\circ \). Рассмотрим \( \triangle BAE \). \( \angle BAE = 90^\circ \) (так как \( AE \perp BD \)). Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle BCD = 90^\circ \) (так как \( CD \perp BE \)). Мы доказали, что \( \triangle BAE = \triangle BCD \). Из этого равенства следует, что \( \angle ABE = \angle CBD \). Это общий угол \( \angle B \). Также \( \angle BEA = \angle BDC \). Если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \), то в \( \triangle BKE \) (где \( K \) - точка пересечения \( AE \) и \( BC \)): \( \angle BKE = 67^\circ \). \( \angle KBE = \angle ABE \). \( \angle KEB = \angle BEA \). Сумма углов в \( \triangle BKE \) равна \( 180^\circ \): \( \angle KBE + \angle BKE + \angle KEB = 180^\circ \) \( \angle ABE + 67^\circ + \angle BEA = 180^\circ \) \( \angle ABE + \angle BEA = 180^\circ - 67^\circ = 113^\circ \). В прямоугольном \( \triangle BAE \): \( \angle ABE + \angle BEA = 90^\circ \). Это противоречие. Значит, угол \( 67^\circ \) - это не \( \angle BKE \). Возможно, угол \( 67^\circ \) - это угол между \( AE \) и \( BC \) в точке пересечения \( F \). Но \( F \) - это точка пересечения \( AE \) и \( CD \). Давайте предположим, что \( AE \) пересекает \( BC \) в точке \( K \). Тогда \( \angle AKB = 67^\circ \). В \( \triangle ABK \): \( \angle BAK \) - это угол, под которым \( AE \) пересекает \( BA \). \( \angle ABK = \angle B \). \( \angle AKB = 67^\circ \). \( \angle BAK = 180^\circ - \angle B - 67^\circ = 113^\circ - \angle B \). В условии сказано: "Определи величину угла, под которым перпендикуляр \( CD \) пересекает \( BA \), если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \)". Пусть \( CD \) пересекает \( BA \) в точке \( M \). Нам нужно найти \( \angle CMB \). Пусть \( AE \) пересекает \( BC \) в точке \( K \). \( \angle AKB = 67^\circ \). Рассмотрим \( \triangle BAE \). \( \angle BAE = 90^\circ \). \( \angle ABE = 90^\circ - \angle BEA \). Рассмотрим \( \triangle BCD \). \( \angle BCD = 90^\circ \). \( \angle CBD = 90^\circ - \angle BDC \). Мы знаем, что \( \triangle BAE = \triangle BCD \). Значит, \( \angle ABE = \angle CBD \) (это общий угол \( \angle B \)). И \( \angle BEA = \angle BDC \). Рассмотрим \( \triangle BKA \). \( \angle KBA = \angle B \). \( \angle BKA = 67^\circ \). \( \angle BAK = 180^\circ - \angle B - 67^\circ = 113^\circ - \angle B \). Теперь рассмотрим \( \triangle BMC \). Нам нужно найти \( \angle CMB \). \( \angle CBM = \angle B \). \( \angle BCM = \angle BCD = 90^\circ \). Тогда \( \angle CMB = 180^\circ - \angle B - 90^\circ = 90^\circ - \angle B \). Мы знаем, что \( \angle BAK = 113^\circ - \angle B \). Из \( \triangle BAE \), \( \angle BAE = 90^\circ \). \( \angle BAE = \angle BAK + \angle KAE \). Если \( K \) лежит на \( BA \), то \( \angle BAK \) - это угол между \( AE \) и \( BA \). Если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \), то это \( \angle AKB = 67^\circ \). В \( \triangle ABK \): \( \angle B + \angle BAK + \angle AKB = 180^\circ \). \( \angle B + \angle BAK + 67^\circ = 180^\circ \). \( \angle BAK = 113^\circ - \angle B \). Угол, под которым перпендикуляр \( CD \) пересекает \( BA \), это \( \angle CMD \). В \( \triangle BDM \): \( \angle DBM = \angle B \). \( \angle BDM = \angle BDC \). \( \angle BMD = 180^\circ - \angle B - \angle BDC \). Мы знаем, что \( \angle BEA = \angle BDC \). Значит, \( \angle BMD = 180^\circ - \angle B - \angle BEA \). Из \( \triangle BAE \): \( \angle B + \angle BEA = 90^\circ \). Тогда \( \angle BMD = 180^\circ - (90^\circ) = 90^\circ \). Это означает, что \( CD \perp BA \). Но это не соответствует условию, что \( CD \perp BE \). Давайте внимательно прочитаем: "Определи величину угла, под которым перпендикуляр \( CD \) пересекает \( BA \)". Пусть \( CD \) пересекает \( BA \) в точке \( M \). Нам нужно найти \( \angle CMA \) или \( \angle CMB \). В \( \triangle BCD \), \( \angle BCD = 90^\circ \). \( \angle CBD = \angle B \). \( \angle BDC = 90^\circ - \angle B \). Мы знаем, что \( \triangle BAE = \triangle BCD \). Значит, \( \angle BEA = \angle BDC = 90^\circ - \angle B \). Теперь вернемся к условию: "если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \)". Пусть \( K \) - точка пересечения \( AE \) и \( BC \). Тогда \( \angle AKB = 67^\circ \). Рассмотрим \( \triangle BKE \). \( \angle KBE = \angle B \). \( \angle KEB = \angle BEA = 90^\circ - \angle B \). Сумма углов в \( \triangle BKE \): \( \angle B + (90^\circ - \angle B) + \angle BKE = 180^\circ \). \( 90^\circ + \angle BKE = 180^\circ \). \( \angle BKE = 90^\circ \). Это означает, что \( AE \perp BC \). Но по условию \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \). Значит, \( \angle BKE = 67^\circ \). Тогда \( \angle B + (90^\circ - \angle B) + 67^\circ = 180^\circ \). \( 90^\circ + 67^\circ = 180^\circ \). \( 157^\circ = 180^\circ \). Это снова противоречие. Возможно, угол \( 67^\circ \) - это угол между \( AE \) и \( BC \) в точке \( K \), но не \( \angle BKE \). Если \( AE \) пересекает \( BC \) под углом \( 67^\circ \), то это может быть \( \angle AKB = 67^\circ \). В \( \triangle ABK \): \( \angle KAB + \angle ABK + \angle AKB = 180^\circ \). \( \angle KAB + \angle B + 67^\circ = 180^\circ \). \( \angle KAB = 113^\circ - \angle B \). Мы знаем, что \( \angle BAE = 90^\circ \). \( \angle BAE = \angle KAB \). Значит, \( 90^\circ = 113^\circ - \angle B \). \( \angle B = 113^\circ - 90^\circ = 23^\circ \). Итак, \( \angle B = 23^\circ \). Теперь нам нужно найти угол, под которым перпендикуляр \( CD \) пересекает \( BA \). Пусть \( M \) - точка пересечения \( CD \) и \( BA \). Рассмотрим \( \triangle BCM \). \( \angle CBM = \angle B = 23^\circ \). \( \angle BCM = 90^\circ \) (так как \( CD \perp BE \), а \( BE \) - это прямая, на которой лежит \( BC \)). Тогда \( \angle CMB = 180^\circ - \angle CBM - \angle BCM = 180^\circ - 23^\circ - 90^\circ = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ \). Ответ: \( 67^\circ \).