Решение интеграла ∫(x√x - 1/√x + 1) dx

Вот решение задачи. Задача: Вычислить неопределенный интеграл. \[ \int \left( x\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \right) dx \] Решение: Шаг 1: Перепишем все члены подынтегрального выражения в виде степеней \(x\). Мы знаем, что \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Тогда: \( x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} \) \( \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}} \) Теперь интеграл выглядит так: \[ \int \left( x^{\frac{3}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} + 1 \right) dx \] Шаг 2: Используем свойство линейности интеграла, чтобы разбить его на сумму (или разность) более простых интегралов. \[ \int x^{\frac{3}{2}} dx - \int x^{-\frac{1}{2}} dx + \int 1 dx \] Шаг 3: Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу для интегрирования степенной функции: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] (где \(n \neq -1\)) Для первого члена: \(n = \frac{3}{2}\) \[ \int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C_1 = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C_1 = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C_1 \] Для второго члена: \(n = -\frac{1}{2}\) \[ \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C_2 = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_2 \] Для третьего члена: \(n = 0\) (так как \(1 = x^0\)) \[ \int 1 dx = \int x^0 dx = \frac{x^{0+1}}{0+1} + C_3 = \frac{x^1}{1} + C_3 = x + C_3 \] Шаг 4: Объединим результаты. \[ \left( \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C_1 \right) - \left( 2 x^{\frac{1}{2}} + C_2 \right) + \left( x + C_3 \right) \] \[ \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + (C_1 - C_2 + C_3) \] Обозначим сумму всех констант как одну общую константу \(C\). \[ \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + C \] Шаг 5: Перепишем результат, используя корни вместо дробных степеней, чтобы он выглядел более привычно. \( x^{\frac{5}{2}} = x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^2 \sqrt{x} \) \( x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \) Окончательный ответ: \[ \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + x + C \] Ответ: \[ \int \left( x\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \right) dx = \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + x + C \]