Решение: Найти производную функции y = cos(2x)/x^6

Вот решение задачи по нахождению производной функции. Задача: Найти производную функции \(y = \frac{\cos(2x)}{x^6}\). Решение: Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования частного: Если \(y = \frac{u}{v}\), то \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). В нашем случае: \(u = \cos(2x)\) \(v = x^6\) Найдем производные \(u'\) и \(v'\): 1. Найдем \(u'\): \(u = \cos(2x)\) Для нахождения производной \(\cos(2x)\) используем правило производной сложной функции: \((\cos(f(x)))' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)\). Здесь \(f(x) = 2x\), поэтому \(f'(x) = (2x)' = 2\). Значит, \(u' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)\). 2. Найдем \(v'\): \(v = x^6\) Для нахождения производной \(x^n\) используем правило: \((x^n)' = nx^{n-1}\). Значит, \(v' = (x^6)' = 6x^{6-1} = 6x^5\). Теперь подставим \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\) в формулу для производной частного: \[y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\] \[y' = \frac{(-2\sin(2x)) \cdot x^6 - (\cos(2x)) \cdot (6x^5)}{(x^6)^2}\] Упростим выражение: \[y' = \frac{-2x^6\sin(2x) - 6x^5\cos(2x)}{x^{12}}\] Вынесем общий множитель \(x^5\) из числителя: \[y' = \frac{x^5(-2x\sin(2x) - 6\cos(2x))}{x^{12}}\] Сократим \(x^5\) в числителе и знаменателе: \[y' = \frac{-2x\sin(2x) - 6\cos(2x)}{x^{12-5}}\] \[y' = \frac{-2x\sin(2x) - 6\cos(2x)}{x^7}\] Можно также вынести \(-2\) из числителя: \[y' = -\frac{2(x\sin(2x) + 3\cos(2x))}{x^7}\] Ответ: \[y' = -\frac{2x\sin(2x) + 6\cos(2x)}{x^7}\]