Решение интеграла ∫ x dx / (3x² + 8)

Решим задачу по нахождению неопределенного интеграла. Задача: Найти интеграл: \[ \int \frac{x \, dx}{3x^2 + 8} \] Решение: Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. 1. Обозначим знаменатель за новую переменную \(u\): Пусть \(u = 3x^2 + 8\). 2. Найдем дифференциал \(du\). Для этого продифференцируем обе части равенства по \(x\): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 8) \] \[ \frac{du}{dx} = 3 \cdot 2x + 0 \] \[ \frac{du}{dx} = 6x \] Отсюда выразим \(dx\): \[ du = 6x \, dx \] Нам нужно выразить \(x \, dx\), так как именно это выражение присутствует в числителе исходного интеграла. Разделим обе части на 6: \[ \frac{1}{6} du = x \, dx \] 3. Теперь подставим \(u\) и \(x \, dx\) в исходный интеграл: \[ \int \frac{x \, dx}{3x^2 + 8} = \int \frac{\frac{1}{6} du}{u} \] 4. Вынесем константу за знак интеграла: \[ = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u} du \] 5. Вычислим полученный интеграл. Известно, что интеграл от \(1/u\) по \(du\) равен натуральному логарифму модуля \(u\): \[ = \frac{1}{6} \ln|u| + C \] где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. 6. Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = 3x^2 + 8\): \[ = \frac{1}{6} \ln|3x^2 + 8| + C \] Поскольку \(3x^2 + 8\) всегда положительно (так как \(3x^2 \ge 0\), то \(3x^2 + 8 \ge 8\)), модуль можно опустить: \[ = \frac{1}{6} \ln(3x^2 + 8) + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{x \, dx}{3x^2 + 8} = \frac{1}{6} \ln(3x^2 + 8) + C \]