Решение интеграла ∫ cos(4x+3) dx

Решим задачу по нахождению неопределенного интеграла. Задача: Найти интеграл: \[ \int \cos(4x + 3) \, dx \] Решение: Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. 1. Обозначим выражение внутри косинуса за новую переменную \(u\): Пусть \(u = 4x + 3\). 2. Найдем дифференциал \(du\). Для этого продифференцируем обе части равенства по \(x\): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x + 3) \] \[ \frac{du}{dx} = 4 \cdot 1 + 0 \] \[ \frac{du}{dx} = 4 \] Отсюда выразим \(dx\): \[ du = 4 \, dx \] Нам нужно выразить \(dx\), поэтому разделим обе части на 4: \[ \frac{1}{4} du = dx \] 3. Теперь подставим \(u\) и \(dx\) в исходный интеграл: \[ \int \cos(4x + 3) \, dx = \int \cos(u) \left(\frac{1}{4} du\right) \] 4. Вынесем константу за знак интеграла: \[ = \frac{1}{4} \int \cos(u) \, du \] 5. Вычислим полученный интеграл. Известно, что интеграл от \(\cos(u)\) по \(du\) равен \(\sin(u)\): \[ = \frac{1}{4} \sin(u) + C \] где \(C\) - произвольная постоянная интегрирования. 6. Вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = 4x + 3\): \[ = \frac{1}{4} \sin(4x + 3) + C \] Окончательный ответ: \[ \int \cos(4x + 3) \, dx = \frac{1}{4} \sin(4x + 3) + C \]