2 вариант
1. Вычислите:
а) \(5\frac{2}{3} + 7\frac{5}{12}\)
Решение:
Для сложения смешанных чисел сначала сложим целые части, а затем дробные. Приведем дробные части к общему знаменателю.
\(5\frac{2}{3} + 7\frac{5}{12} = (5+7) + (\frac{2}{3} + \frac{5}{12})\)
Общий знаменатель для 3 и 12 равен 12. Дополнительный множитель для дроби \(\frac{2}{3}\) равен \(12 \div 3 = 4\).
\(12 + (\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{5}{12}) = 12 + (\frac{8}{12} + \frac{5}{12})\)
\(= 12 + \frac{8+5}{12} = 12 + \frac{13}{12}\)
Выделим целую часть из неправильной дроби \(\frac{13}{12}\): \(\frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}\).
\(= 12 + 1\frac{1}{12} = 13\frac{1}{12}\)
Ответ: \(13\frac{1}{12}\)
б) \(4\frac{7}{8} + 2\frac{7}{10} - 1\frac{29}{40}\)
Решение:
Сначала сложим первые два смешанных числа, затем вычтем третье. Приведем дробные части к общему знаменателю.
\(4\frac{7}{8} + 2\frac{7}{10} = (4+2) + (\frac{7}{8} + \frac{7}{10})\)
Общий знаменатель для 8 и 10 равен 40. Дополнительный множитель для \(\frac{7}{8}\) равен \(40 \div 8 = 5\), для \(\frac{7}{10}\) равен \(40 \div 10 = 4\).
\(= 6 + (\frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{7 \cdot 4}{10 \cdot 4}) = 6 + (\frac{35}{40} + \frac{28}{40})\)
\(= 6 + \frac{35+28}{40} = 6 + \frac{63}{40}\)
Выделим целую часть из неправильной дроби \(\frac{63}{40}\): \(\frac{63}{40} = 1\frac{23}{40}\).
\(= 6 + 1\frac{23}{40} = 7\frac{23}{40}\)
Теперь вычтем \(1\frac{29}{40}\) из полученного результата:
\(7\frac{23}{40} - 1\frac{29}{40}\)
Так как \(\frac{23}{40} < \frac{29}{40}\), займем единицу у целой части:
\(7\frac{23}{40} = 6 + 1 + \frac{23}{40} = 6 + \frac{40}{40} + \frac{23}{40} = 6\frac{40+23}{40} = 6\frac{63}{40}\)
Теперь выполним вычитание:
\(6\frac{63}{40} - 1\frac{29}{40} = (6-1) + (\frac{63}{40} - \frac{29}{40})\)
\(= 5 + \frac{63-29}{40} = 5 + \frac{34}{40}\)
Сократим дробь \(\frac{34}{40}\) на 2: \(\frac{34 \div 2}{40 \div 2} = \frac{17}{20}\).
\(= 5\frac{17}{20}\)
Ответ: \(5\frac{17}{20}\)
2. Вычислите:
а) \(9\frac{5}{6} : 6\frac{5}{9}\)
Решение:
Для деления смешанных чисел сначала переведем их в неправильные дроби.
\(9\frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{54+5}{6} = \frac{59}{6}\)
\(6\frac{5}{9} = \frac{6 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{54+5}{9} = \frac{59}{9}\)
Теперь выполним деление, умножив первую дробь на обратную второй:
\(\frac{59}{6} : \frac{59}{9} = \frac{59}{6} \cdot \frac{9}{59}\)
Сократим 59 в числителе и знаменателе, а также 6 и 9 на 3:
\(= \frac{1}{6 \div 3} \cdot \frac{9 \div 3}{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2}\)
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
\(\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)
Ответ: \(1\frac{1}{2}\)
б) \(7\frac{1}{5} \cdot 1\frac{1}{9} : 2\frac{2}{3}\)
Решение:
Переведем все смешанные числа в неправильные дроби.
\(7\frac{1}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{35+1}{5} = \frac{36}{5}\)
\(1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{9+1}{9} = \frac{10}{9}\)
\(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}\)
Теперь выполним умножение и деление:
\(\frac{36}{5} \cdot \frac{10}{9} : \frac{8}{3}\)
Сначала умножение:
\(\frac{36}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9}\)
Сократим 36 и 9 на 9 (получим 4 и 1), 10 и 5 на 5 (получим 2 и 1):
\(= \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{8}{1} = 8\)
Теперь выполним деление:
\(8 : \frac{8}{3} = 8 \cdot \frac{3}{8}\)
Сократим 8 в числителе и знаменателе:
\(= 1 \cdot 3 = 3\)
Ответ: \(3\)
3. Вычислите: \(2 : 2\frac{2}{3} + 1\frac{1}{4} - 2\frac{5}{6}\)
Решение:
Выполним действия по порядку: сначала деление, затем сложение и вычитание.
1) Деление: \(2 : 2\frac{2}{3}\)
Переведем \(2\frac{2}{3}\) в неправильную дробь: \(2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}\).
\(2 : \frac{8}{3} = 2 \cdot \frac{3}{8}\)
Сократим 2 и 8 на 2:
\(= \frac{1 \cdot 3}{4} = \frac{3}{4}\)
2) Сложение: \(\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4}\)
\(\frac{3}{4} + 1\frac{1}{4} = 1 + (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 1 + \frac{3+1}{4} = 1 + \frac{4}{4} = 1 + 1 = 2\)
3) Вычитание: \(2 - 2\frac{5}{6}\)
Так как \(2 < 2\frac{5}{6}\), результат будет отрицательным. Или можно представить 2 как \(1\frac{6}{6}\) и вычесть.
\(2 - 2\frac{5}{6} = \frac{12}{6} - \frac{17}{6} = \frac{12-17}{6} = -\frac{5}{6}\)
Ответ: \(-\frac{5}{6}\)
4. Было отремонтировано \(\frac{2}{7}\) всех станков в цехе. Сколько станков в цехе, если отремонтировали 28 станков?
Решение:
Пусть \(x\) - общее количество станков в цехе.
Известно, что \(\frac{2}{7}\) от общего количества станков составляет 28 станков.
Это можно записать как уравнение:
\(\frac{2}{7} \cdot x = 28\)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить 28 на \(\frac{2}{7}\):
\(x = 28 : \frac{2}{7}\)
При делении на дробь, мы умножаем на обратную дробь:
\(x = 28 \cdot \frac{7}{2}\)
Сократим 28 и 2 на 2:
\(x = \frac{28}{2} \cdot 7 = 14 \cdot 7\)
\(x = 98\)
Значит, в цехе 98 станков.
Ответ: 98 станков.
5. Длина дороги 51 км, заасфальтировали 83% дороги. Сколько км осталось заасфальтировать?
Решение:
Общая длина дороги - 51 км.
Заасфальтировали 83% дороги.
Сначала найдем, сколько километров дороги заасфальтировали.
83% от 51 км - это \(\frac{83}{100} \cdot 51\).
\(0.83 \cdot 51 = 42.33\) км.
Теперь найдем, сколько километров осталось заасфальтировать. Для этого вычтем заасфальтированную часть из общей длины дороги.
\(51 - 42.33 = 8.67\) км.
Другой способ: Если заасфальтировали 83% дороги, то осталось заасфальтировать \(100\% - 83\% = 17\%\) дороги.
Найдем 17% от 51 км:
\(\frac{17}{100} \cdot 51 = 0.17 \cdot 51 = 8.67\) км.
Ответ: 8.67 км осталось заасфальтировать.
6. Решите уравнение: \(1\frac{2}{5} + x = 2\frac{4}{15}\)
Решение:
Чтобы найти неизвестное слагаемое \(x\), нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
\(x = 2\frac{4}{15} - 1\frac{2}{5}\)
Переведем смешанные числа в неправильные дроби или выполним вычитание, приведя дробные части к общему знаменателю.
Общий знаменатель для 15 и 5 равен 15. Дополнительный множитель для \(\frac{2}{5}\) равен \(15 \div 5 = 3\).
\(x = 2\frac{4}{15} - 1\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}\)
\(x = 2\frac{4}{15} - 1\frac{6}{15}\)
Так как \(\frac{4}{15} < \frac{6}{15}\), займем единицу у целой части первого смешанного числа:
\(2\frac{4}{15} = 1 + 1 + \frac{4}{15} = 1 + \frac{15}{15} + \frac{4}{15} = 1\frac{15+4}{15} = 1\frac{19}{15}\)
Теперь выполним вычитание:
\(x = 1\frac{19}{15} - 1\frac{6}{15}\)
\(x = (1-1) + (\frac{19}{15} - \frac{6}{15})\)
\(x = 0 + \frac{19-6}{15}\)
\(x = \frac{13}{15}\)
Ответ: \(x = \frac{13}{15}\)