Решение интеграла ∫dx/(3x²+7)

Вот решение задачи. Задача: Вычислить интеграл. \[ \int \frac{dx}{3x^2 + 7} \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой для интеграла вида \(\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C\). Сначала преобразуем знаменатель, чтобы он соответствовал виду \(a^2 + u^2\). Вынесем 3 из знаменателя: \[ 3x^2 + 7 = 3\left(x^2 + \frac{7}{3}\right) \] Теперь интеграл примет вид: \[ \int \frac{dx}{3\left(x^2 + \frac{7}{3}\right)} = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2 + \frac{7}{3}} \] Теперь мы можем определить \(u^2 = x^2\) и \(a^2 = \frac{7}{3}\). Отсюда: \(u = x\) \(du = dx\) \(a = \sqrt{\frac{7}{3}}\) Подставим эти значения в формулу: \[ \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2 + \left(\sqrt{\frac{7}{3}}\right)^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{7}{3}}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{7}{3}}}\right) + C \] Упростим выражение: \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) + C \] \[ \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) + C \] Можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{7}\): \[ \frac{\sqrt{3}\sqrt{7}}{3\sqrt{7}\sqrt{7}} \arctan\left(\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) + C \] \[ \frac{\sqrt{21}}{3 \cdot 7} \arctan\left(\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) + C \] \[ \frac{\sqrt{21}}{21} \arctan\left(\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{dx}{3x^2 + 7} = \frac{\sqrt{21}}{21} \arctan\left(\frac{x\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\right) + C \]