Решение Интеграла ∫(∐√ln²(x+1))/(x+1) dx

Вот решение задачи. Задача: Вычислить интеграл. \[ \int \frac{\sqrt[7]{\ln^2(x+1)}}{x+1} dx \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(u = \ln(x+1)\). Тогда найдем дифференциал \(du\): \[ du = \frac{d}{dx}(\ln(x+1)) dx = \frac{1}{x+1} dx \] Теперь подставим \(u\) и \(du\) в исходный интеграл: \[ \int \sqrt[7]{u^2} du \] Перепишем корень в виде степени: \[ \int u^{\frac{2}{7}} du \] Теперь воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\). В нашем случае \(n = \frac{2}{7}\). \[ \int u^{\frac{2}{7}} du = \frac{u^{\frac{2}{7}+1}}{\frac{2}{7}+1} + C \] Вычислим сумму в показателе степени и в знаменателе: \[ \frac{2}{7} + 1 = \frac{2}{7} + \frac{7}{7} = \frac{9}{7} \] Теперь подставим это значение обратно: \[ \frac{u^{\frac{9}{7}}}{\frac{9}{7}} + C \] Перевернем дробь в знаменателе: \[ \frac{7}{9} u^{\frac{9}{7}} + C \] Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \ln(x+1)\): \[ \frac{7}{9} (\ln(x+1))^{\frac{9}{7}} + C \] Можно также записать результат с использованием корня: \[ \frac{7}{9} \sqrt[7]{(\ln(x+1))^9} + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{\sqrt[7]{\ln^2(x+1)}}{x+1} dx = \frac{7}{9} (\ln(x+1))^{\frac{9}{7}} + C \]