Решение интеграла ∫ sin(3x)/cos²(3x) dx

Вот решение задачи. Задача: Вычислить интеграл. \[ \int \frac{\sin 3x}{\cos^2 3x} dx \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(u = \cos 3x\). Тогда найдем дифференциал \(du\): \[ du = \frac{d}{dx}(\cos 3x) dx \] Вспомним, что производная \(\cos(ax)\) равна \(-a \sin(ax)\). Значит: \[ du = -3 \sin 3x dx \] Из этого выражения выразим \(\sin 3x dx\): \[ \sin 3x dx = -\frac{1}{3} du \] Теперь подставим \(u\) и \(\sin 3x dx\) в исходный интеграл: \[ \int \frac{1}{u^2} \left(-\frac{1}{3}\right) du \] Вынесем константу \(\left(-\frac{1}{3}\right)\) за знак интеграла: \[ -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^2} du \] Перепишем \(\frac{1}{u^2}\) как \(u^{-2}\): \[ -\frac{1}{3} \int u^{-2} du \] Теперь воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\). В нашем случае \(n = -2\). \[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C \] \[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-1}}{-1} + C \] Упростим выражение: \[ -\frac{1}{3} \cdot (-1) \cdot u^{-1} + C \] \[ \frac{1}{3} u^{-1} + C \] Перепишем \(u^{-1}\) как \(\frac{1}{u}\): \[ \frac{1}{3u} + C \] Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \cos 3x\): \[ \frac{1}{3 \cos 3x} + C \] Можно также записать результат, используя \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\): \[ \frac{1}{3} \sec 3x + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{\sin 3x}{\cos^2 3x} dx = \frac{1}{3 \cos 3x} + C \]