Задача 2. Вспахали \(\frac{6}{7}\) поля, что составило 210 га. Какова площадь всего поля?
Решение:
Пусть \(x\) га – это площадь всего поля.
Из условия задачи известно, что \(\frac{6}{7}\) от площади поля составляет 210 га.
Значит, мы можем составить уравнение:
\[\frac{6}{7} \cdot x = 210\]Чтобы найти \(x\), нужно 210 разделить на \(\frac{6}{7}\). При делении на дробь, мы умножаем на обратную дробь:
\[x = 210 : \frac{6}{7}\] \[x = 210 \cdot \frac{7}{6}\]Выполним умножение:
\[x = \frac{210 \cdot 7}{6}\]Сократим 210 и 6 на 6:
\[210 : 6 = 35\] \[x = 35 \cdot 7\] \[x = 245\]Таким образом, площадь всего поля составляет 245 га.
Ответ: 245 га.
Задача 3. Решите уравнение \(y - \frac{4}{7}y = 4,2\).
Решение:
У нас есть уравнение:
\[y - \frac{4}{7}y = 4,2\]Мы можем представить \(y\) как \(\frac{7}{7}y\):
\[\frac{7}{7}y - \frac{4}{7}y = 4,2\]Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
\[\left(\frac{7}{7} - \frac{4}{7}\right)y = 4,2\] \[\frac{3}{7}y = 4,2\]Чтобы найти \(y\), нужно 4,2 разделить на \(\frac{3}{7}\):
\[y = 4,2 : \frac{3}{7}\]Представим 4,2 как дробь \(\frac{42}{10}\) или \(\frac{21}{5}\):
\[y = \frac{42}{10} \cdot \frac{7}{3}\]Сократим 42 и 3 на 3:
\[42 : 3 = 14\] \[y = \frac{14 \cdot 7}{10}\] \[y = \frac{98}{10}\] \[y = 9,8\]Ответ: \(y = 9,8\).
Задача 4. У Серёжи и Пети всего 69 марок. У Пети марок в \(1\frac{7}{8}\) раза больше, чем у Серёжи. Сколько марок у каждого из мальчиков?
Решение:
Пусть у Серёжи \(x\) марок.
Тогда у Пети в \(1\frac{7}{8}\) раза больше марок, чем у Серёжи. Переведем смешанную дробь в неправильную:
\[1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{8 + 7}{8} = \frac{15}{8}\]Значит, у Пети \(\frac{15}{8}x\) марок.
Всего у Серёжи и Пети 69 марок. Составим уравнение:
\[x + \frac{15}{8}x = 69\]Представим \(x\) как \(\frac{8}{8}x\):
\[\frac{8}{8}x + \frac{15}{8}x = 69\]Сложим дроби:
\[\left(\frac{8}{8} + \frac{15}{8}\right)x = 69\] \[\frac{23}{8}x = 69\]Чтобы найти \(x\), разделим 69 на \(\frac{23}{8}\):
\[x = 69 : \frac{23}{8}\] \[x = 69 \cdot \frac{8}{23}\]Сократим 69 и 23 на 23:
\[69 : 23 = 3\] \[x = 3 \cdot 8\] \[x = 24\]Итак, у Серёжи 24 марки.
Теперь найдем, сколько марок у Пети:
У Пети \(\frac{15}{8}x\) марок, то есть:
\[\frac{15}{8} \cdot 24 = 15 \cdot \frac{24}{8} = 15 \cdot 3 = 45\]Проверим: \(24 + 45 = 69\). Всё верно.
Ответ: У Серёжи 24 марки, у Пети 45 марок.
Задача 5*. Сравните числа \(p\) и \(k\), если \(\frac{7}{9}\) числа \(p\) составляют 35 % числа \(k\) (числа \(p\) и \(k\) не равны нулю).
Решение:
Из условия задачи известно, что \(\frac{7}{9}\) числа \(p\) составляют 35 % числа \(k\).
Запишем 35 % в виде десятичной дроби или обычной дроби:
\[35 \% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}\]Теперь запишем условие в виде уравнения:
\[\frac{7}{9}p = \frac{7}{20}k\]Так как \(p\) и \(k\) не равны нулю, мы можем разделить обе части уравнения на 7:
\[\frac{1}{9}p = \frac{1}{20}k\]Теперь выразим \(p\) через \(k\):
\[p = \frac{9}{20}k\]Мы знаем, что \(\frac{9}{20}\) – это правильная дробь, так как числитель меньше знаменателя (\(9 < 20\)). Это означает, что \(\frac{9}{20} < 1\).
Так как \(p = \frac{9}{20}k\) и \(\frac{9}{20} < 1\), то \(p\) будет меньше \(k\), при условии, что \(k\) – положительное число.
Если \(k\) – положительное число, то \(p < k\).
Если \(k\) – отрицательное число, то \(p\) будет больше \(k\). Например, если \(k = -20\), то \(p = \frac{9}{20} \cdot (-20) = -9\). В этом случае \(-9 > -20\), то есть \(p > k\).
Однако, в школьных задачах по умолчанию обычно подразумеваются положительные числа, если не указано иное. Если числа \(p\) и \(k\) могут быть как положительными, так и отрицательными, то сравнение зависит от знака \(k\).
Предположим, что \(p\) и \(k\) – положительные числа (это наиболее распространенный случай в задачах такого типа, если не указано обратное).
Тогда, поскольку \(\frac{9}{20} < 1\), то \(p < k\).
Ответ: Если \(k > 0\), то \(p < k\). Если \(k < 0\), то \(p > k\).