Задача 7
При отклонении от положения равновесия металлического шарика, подвешенного на длинной нити, его высота над поверхностью Земли увеличилась на 5 см. С какой скоростью пройдет этот шарик положение равновесия в процессе свободных колебаний?
Дано:
\(h = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}\)
\(g = 9,8 \text{ м/с}^2\)
Найти:
\(v\)
Решение:
При колебаниях шарика происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. В верхней точке отклонения (максимальная высота \(h\)) вся энергия является потенциальной, а в положении равновесия (минимальная высота, которую мы примем за ноль) вся энергия является кинетической.
Согласно закону сохранения энергии:
Потенциальная энергия в верхней точке равна кинетической энергии в положении равновесия.
\[E_п = E_к\]
Формула для потенциальной энергии: \(E_п = mgh\)
Формула для кинетической энергии: \(E_к = \frac{mv^2}{2}\)
Приравниваем эти выражения:
\[mgh = \frac{mv^2}{2}\]
Масса \(m\) сокращается с обеих сторон уравнения:
\[gh = \frac{v^2}{2}\]
Выразим скорость \(v\):
\[v^2 = 2gh\]
\[v = \sqrt{2gh}\]
Подставим известные значения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,05 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{0,98 \text{ м}^2/\text{с}^2}\]
\[v \approx 0,99 \text{ м/с}\]
Ответ: Шарик пройдет положение равновесия со скоростью примерно \(0,99 \text{ м/с}\).
Задача 8
При опытном определении ускорения свободного падения учащийся насчитал 150 колебаний маятника за 5 мин. Какое значение он получит, если длина нити маятника равна 1 м?
Дано:
\(N = 150\) колебаний
\(t = 5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}\)
\(L = 1 \text{ м}\)
Найти:
\(g\)
Решение:
Сначала найдем период колебаний маятника. Период \(T\) - это время одного полного колебания.
\[T = \frac{t}{N}\]
Подставим значения:
\[T = \frac{300 \text{ с}}{150} = 2 \text{ с}\]
Формула для периода колебаний математического маятника:
\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]
Нам нужно выразить ускорение свободного падения \(g\). Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[T^2 = (2\pi)^2 \frac{L}{g}\]
\[T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}\]
Теперь выразим \(g\):
\[g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}\]
Подставим известные значения (\(\pi \approx 3,14\)):
\[g = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot 1 \text{ м}}{(2 \text{ с})^2}\]
\[g = \frac{4 \cdot 9,8596 \cdot 1 \text{ м}}{4 \text{ с}^2}\]
\[g = 9,8596 \text{ м/с}^2\]
Округлим до двух знаков после запятой:
\[g \approx 9,86 \text{ м/с}^2\]
Ответ: Учащийся получит значение ускорения свободного падения примерно \(9,86 \text{ м/с}^2\).
Задача 9
Как изменится частота колебаний тела, подвешенного на пружине, при увеличении его массы в 4 раза?
Дано:
Масса увеличивается в 4 раза, то есть \(m_2 = 4m_1\)
Найти:
Как изменится частота \(\nu\)
Решение:
Частота колебаний тела на пружине (пружинного маятника) определяется формулой:
\[\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]
где \(k\) - жесткость пружины, \(m\) - масса тела.
Пусть начальная частота будет \(\nu_1\) при массе \(m_1\):
\[\nu_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}\]
После увеличения массы в 4 раза, новая масса станет \(m_2 = 4m_1\). Новая частота \(\nu_2\) будет:
\[\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}\]
Подставим \(m_2 = 4m_1\):
\[\nu_2 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{4m_1}}\]
Мы можем вынести \(\sqrt{\frac{1}{4}}\) из-под корня, что равно \(\frac{1}{2}\):
\[\nu_2 = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{m_1}}\]
\[\nu_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}} \right)\]
Заметим, что выражение в скобках - это начальная частота \(\nu_1\).
\[\nu_2 = \frac{1}{2} \nu_1\]
Таким образом, частота колебаний уменьшится в 2 раза.
Ответ: Частота колебаний тела, подвешенного на пружине, уменьшится в 2 раза.