Решение интеграла ∫ tg^4(7x)/cos^2(7x) dx

Вот решение задачи. Задача: Вычислить интеграл. \[ \int \frac{\text{tg}^4 7x}{\cos^2 7x} dx \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вспомним, что \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha\). Тогда интеграл можно переписать как: \[ \int \text{tg}^4 7x \cdot \frac{1}{\cos^2 7x} dx = \int \text{tg}^4 7x \cdot \sec^2 7x dx \] Пусть \(u = \text{tg } 7x\). Тогда найдем дифференциал \(du\): \[ du = \frac{d}{dx}(\text{tg } 7x) dx \] Вспомним, что производная \(\text{tg}(ax)\) равна \(a \sec^2(ax)\). Значит: \[ du = 7 \sec^2 7x dx \] Из этого выражения выразим \(\sec^2 7x dx\): \[ \sec^2 7x dx = \frac{1}{7} du \] Теперь подставим \(u\) и \(\sec^2 7x dx\) в преобразованный интеграл: \[ \int u^4 \cdot \frac{1}{7} du \] Вынесем константу \(\frac{1}{7}\) за знак интеграла: \[ \frac{1}{7} \int u^4 du \] Теперь воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\). В нашем случае \(n = 4\). \[ \frac{1}{7} \cdot \frac{u^{4+1}}{4+1} + C \] \[ \frac{1}{7} \cdot \frac{u^5}{5} + C \] Упростим выражение: \[ \frac{1}{35} u^5 + C \] Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \text{tg } 7x\): \[ \frac{1}{35} (\text{tg } 7x)^5 + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{\text{tg}^4 7x}{\cos^2 7x} dx = \frac{1}{35} \text{tg}^5 7x + C \]