Решение Интеграла ∫(arctg^7(3x)/(1+9x^2)) dx

Вот решение задачи. Задача: Вычислить интеграл. \[ \int \frac{\text{arctg}^7 3x}{1 + 9x^2} dx \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(u = \text{arctg } 3x\). Тогда найдем дифференциал \(du\): \[ du = \frac{d}{dx}(\text{arctg } 3x) dx \] Вспомним, что производная \(\text{arctg}(ax)\) равна \(\frac{a}{1 + (ax)^2}\). Значит: \[ du = \frac{3}{1 + (3x)^2} dx = \frac{3}{1 + 9x^2} dx \] Из этого выражения выразим \(\frac{1}{1 + 9x^2} dx\): \[ \frac{1}{1 + 9x^2} dx = \frac{1}{3} du \] Теперь подставим \(u\) и \(\frac{1}{1 + 9x^2} dx\) в исходный интеграл: \[ \int u^7 \cdot \frac{1}{3} du \] Вынесем константу \(\frac{1}{3}\) за знак интеграла: \[ \frac{1}{3} \int u^7 du \] Теперь воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\). В нашем случае \(n = 7\). \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{7+1}}{7+1} + C \] \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{u^8}{8} + C \] Упростим выражение: \[ \frac{1}{24} u^8 + C \] Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = \text{arctg } 3x\): \[ \frac{1}{24} (\text{arctg } 3x)^8 + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{\text{arctg}^7 3x}{1 + 9x^2} dx = \frac{1}{24} \text{arctg}^8 3x + C \]