Решение интеграла ∫e^(1-4x^2)x dx

Вот решение задачи. Задача: Вычислить интеграл. \[ \int e^{1-4x^2} x dx \] Решение: Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть \(u = 1 - 4x^2\). Тогда найдем дифференциал \(du\): \[ du = \frac{d}{dx}(1 - 4x^2) dx \] \[ du = (0 - 4 \cdot 2x) dx \] \[ du = -8x dx \] Из этого выражения выразим \(x dx\): \[ x dx = -\frac{1}{8} du \] Теперь подставим \(u\) и \(x dx\) в исходный интеграл: \[ \int e^u \left(-\frac{1}{8}\right) du \] Вынесем константу \(\left(-\frac{1}{8}\right)\) за знак интеграла: \[ -\frac{1}{8} \int e^u du \] Теперь воспользуемся формулой для интегрирования экспоненциальной функции \(\int e^u du = e^u + C\). \[ -\frac{1}{8} e^u + C \] Теперь вернемся к исходной переменной \(x\), подставив \(u = 1 - 4x^2\): \[ -\frac{1}{8} e^{1-4x^2} + C \] Окончательный ответ: \[ \int e^{1-4x^2} x dx = -\frac{1}{8} e^{1-4x^2} + C \]