Решение неопределенного интеграла ∫ (3√x + 4x² - 5) / (2x²) dx

Вот решение задачи. Задача: Найти неопределенный интеграл. \[ \int \frac{3\sqrt{x} + 4x^2 - 5}{2x^2} dx \] Решение: 1. Разделим дробь на сумму более простых дробей: \[ \int \left( \frac{3\sqrt{x}}{2x^2} + \frac{4x^2}{2x^2} - \frac{5}{2x^2} \right) dx \] 2. Упростим каждое слагаемое: * Первое слагаемое: \[ \frac{3\sqrt{x}}{2x^2} = \frac{3x^{1/2}}{2x^2} = \frac{3}{2} x^{1/2 - 2} = \frac{3}{2} x^{-3/2} \] * Второе слагаемое: \[ \frac{4x^2}{2x^2} = \frac{4}{2} = 2 \] * Третье слагаемое: \[ \frac{5}{2x^2} = \frac{5}{2} x^{-2} \] 3. Теперь интеграл принимает вид: \[ \int \left( \frac{3}{2} x^{-3/2} + 2 - \frac{5}{2} x^{-2} \right) dx \] 4. Воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и вынесем константы за знак интеграла: \[ \frac{3}{2} \int x^{-3/2} dx + \int 2 dx - \frac{5}{2} \int x^{-2} dx \] 5. Вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу для степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) (при \( n \neq -1 \)): * Для первого интеграла \( n = -3/2 \): \[ \int x^{-3/2} dx = \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2} \] * Для второго интеграла \( n = 0 \) (так как \( 2 = 2x^0 \)): \[ \int 2 dx = 2x \] * Для третьего интеграла \( n = -2 \): \[ \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} \] 6. Подставим полученные результаты обратно в выражение: \[ \frac{3}{2} (-2x^{-1/2}) + 2x - \frac{5}{2} (-x^{-1}) + C \] 7. Упростим выражение: \[ -3x^{-1/2} + 2x + \frac{5}{2} x^{-1} + C \] 8. Запишем результат, используя корни и дроби вместо отрицательных степеней: \[ -\frac{3}{\sqrt{x}} + 2x + \frac{5}{2x} + C \] Ответ: \[ \int \frac{3\sqrt{x} + 4x^2 - 5}{2x^2} dx = -\frac{3}{\sqrt{x}} + 2x + \frac{5}{2x} + C \]