Решение систем уравнений
Задача 440. Решите систему уравнений:
а) \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ x - y = 4 \end{cases} \]
Решение:
Из второго уравнения выразим \(x\):
\(x = 4 + y\)
Подставим это выражение в первое уравнение:
\((4 + y)^2 + y^2 = 16\)
Раскроем скобки:
\(16 + 8y + y^2 + y^2 = 16\)
Приведем подобные слагаемые:
\(2y^2 + 8y = 0\)
Вынесем \(2y\) за скобки:
\(2y(y + 4) = 0\)
Отсюда получаем два возможных значения для \(y\):
\(2y = 0 \Rightarrow y_1 = 0\)
\(y + 4 = 0 \Rightarrow y_2 = -4\)
Теперь найдем соответствующие значения \(x\), используя выражение \(x = 4 + y\):
Для \(y_1 = 0\):
\(x_1 = 4 + 0 = 4\)
Для \(y_2 = -4\):
\(x_2 = 4 + (-4) = 0\)
Ответ: \((4; 0)\) и \((0; -4)\).
Задача 441. Решите систему уравнений:
а) \[ \begin{cases} x^2 + xy - y^2 = 11 \\ x - 2y = 1 \end{cases} \]
Решение:
Из второго уравнения выразим \(x\):
\(x = 1 + 2y\)
Подставим это выражение в первое уравнение:
\((1 + 2y)^2 + (1 + 2y)y - y^2 = 11\)
Раскроем скобки:
\(1 + 4y + 4y^2 + y + 2y^2 - y^2 = 11\)
Приведем подобные слагаемые:
\(5y^2 + 5y + 1 = 11\)
Перенесем 11 в левую часть:
\(5y^2 + 5y - 10 = 0\)
Разделим все уравнение на 5:
\(y^2 + y - 2 = 0\)
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)
Найдем корни \(y\):
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2\)
Теперь найдем соответствующие значения \(x\), используя выражение \(x = 1 + 2y\):
Для \(y_1 = 1\):
\(x_1 = 1 + 2 \cdot 1 = 1 + 2 = 3\)
Для \(y_2 = -2\):
\(x_2 = 1 + 2 \cdot (-2) = 1 - 4 = -3\)
Ответ: \((3; 1)\) и \((-3; -2)\).
Задача 442. Решите систему уравнений:
а) \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + 3xy = -1 \\ x + 2y = 0 \end{cases} \]
Решение:
Из второго уравнения выразим \(x\):
\(x = -2y\)
Подставим это выражение в первое уравнение:
\((-2y)^2 + y^2 + 3(-2y)y = -1\)
Раскроем скобки:
\(4y^2 + y^2 - 6y^2 = -1\)
Приведем подобные слагаемые:
\((4 + 1 - 6)y^2 = -1\)
\(-y^2 = -1\)
Умножим обе части на -1:
\(y^2 = 1\)
Отсюда получаем два возможных значения для \(y\):
\(y_1 = 1\)
\(y_2 = -1\)
Теперь найдем соответствующие значения \(x\), используя выражение \(x = -2y\):
Для \(y_1 = 1\):
\(x_1 = -2 \cdot 1 = -2\)
Для \(y_2 = -1\):
\(x_2 = -2 \cdot (-1) = 2\)
Ответ: \((-2; 1)\) и \((2; -1)\).
Задача 443. Решите систему уравнений:
а) \[ \begin{cases} x - y = 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases} \]
Решение:
Из первого уравнения выразим \(x\):
\(x = 5 + y\)
Подставим это выражение во второе уравнение. Сначала приведем дроби во втором уравнении к общему знаменателю:
\(\frac{y + x}{xy} = \frac{1}{6}\)
Теперь подставим \(x = 5 + y\):
\(\frac{y + (5 + y)}{(5 + y)y} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{5 + 2y}{5y + y^2} = \frac{1}{6}\)
Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):
\(6(5 + 2y) = 1(5y + y^2)\)
\(30 + 12y = 5y + y^2\)
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(y^2 + 5y - 12y - 30 = 0\)
\(y^2 - 7y - 30 = 0\)
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169\)
Найдем корни \(y\):
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10\)
\(y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
Теперь найдем соответствующие значения \(x\), используя выражение \(x = 5 + y\):
Для \(y_1 = 10\):
\(x_1 = 5 + 10 = 15\)
Для \(y_2 = -3\):
\(x_2 = 5 + (-3) = 2\)
Важно проверить, что \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\), так как они находятся в знаменателе. В наших решениях \(x_1=15, y_1=10\) и \(x_2=2, y_2=-3\), что удовлетворяет этому условию.
Ответ: \((15; 10)\) и \((2; -3)\).
б) \[ \begin{cases} x + y = 6 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \]
Решение:
Из первого уравнения выразим \(x\):
\(x = 6 - y\)
Подставим это выражение во второе уравнение. Сначала приведем дроби во втором уравнении к общему знаменателю:
\(\frac{y - x}{xy} = \frac{1}{4}\)
Теперь подставим \(x = 6 - y\):
\(\frac{y - (6 - y)}{(6 - y)y} = \frac{1}{4}\)
\(\frac{y - 6 + y}{6y - y^2} = \frac{1}{4}\)
\(\frac{2y - 6}{6y - y^2} = \frac{1}{4}\)
Применим свойство пропорции (перекрестное умножение):
\(4(2y - 6) = 1(6y - y^2)\)
\(8y - 24 = 6y - y^2\)
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(y^2 + 8y - 6y - 24 = 0\)
\(y^2 + 2y - 24 = 0\)
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\)
Найдем корни \(y\):
\(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(y_1 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(y_2 = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)
Теперь найдем соответствующие значения \(x\), используя выражение \(x = 6 - y\):
Для \(y_1 = 4\):
\(x_1 = 6 - 4 = 2\)
Для \(y_2 = -6\):
\(x_2 = 6 - (-6) = 6 + 6 = 12\)
Важно проверить, что \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\), так как они находятся в знаменателе. В наших решениях \(x_1=2, y_1=4\) и \(x_2=12, y_2=-6\), что удовлетворяет этому условию.
Ответ: \((2; 4)\) и \((12; -6)\).