Задача: Вычислите предел:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x^2-4} \]Решение:
1. Сначала попробуем подставить значение \(x = -2\) в выражение:
\[ \frac{-2+2}{(-2)^2-4} = \frac{0}{4-4} = \frac{0}{0} \]Мы получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Это означает, что мы можем упростить выражение, разложив знаменатель на множители.
2. Заметим, что знаменатель \(x^2-4\) является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). В нашем случае \(a=x\) и \(b=2\).
\[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \]3. Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в выражение предела:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} \]4. Так как \(x \to -2\), но \(x \neq -2\), мы можем сократить множитель \((x+2)\) в числителе и знаменателе:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{1}{x-2} \]5. Теперь подставим значение \(x = -2\) в упрощенное выражение:
\[ \frac{1}{-2-2} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} \]Ответ:
\[ \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x^2-4} = -\frac{1}{4} \]