Задача: Вычислите предел: \(\lim_{x \to 0} \frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\). Ответ округлите до сотых.
Решение:
1. Сначала попробуем подставить значение \(x = 0\) в выражение:
\[ \frac{3-\sqrt{9-0}}{0} = \frac{3-\sqrt{9}}{0} = \frac{3-3}{0} = \frac{0}{0} \]Мы получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Для раскрытия этой неопределенности, когда в выражении есть корень, часто используют умножение на сопряженное выражение.
2. Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, то есть на \(3+\sqrt{9-x}\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{3-\sqrt{9-x}}{x} \cdot \frac{3+\sqrt{9-x}}{3+\sqrt{9-x}} \]3. В числителе используем формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), где \(a=3\) и \(b=\sqrt{9-x}\):
\[ (3)^2 - (\sqrt{9-x})^2 = 9 - (9-x) = 9 - 9 + x = x \]4. Теперь подставим это обратно в выражение предела:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(3+\sqrt{9-x})} \]5. Так как \(x \to 0\), но \(x \neq 0\), мы можем сократить множитель \(x\) в числителе и знаменателе:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{3+\sqrt{9-x}} \]6. Теперь подставим значение \(x = 0\) в упрощенное выражение:
\[ \frac{1}{3+\sqrt{9-0}} = \frac{1}{3+\sqrt{9}} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6} \]7. Округлим полученное значение до сотых:
\[ \frac{1}{6} \approx 0.1666... \approx 0.17 \]Ответ:
0.17