Задача: Определите и классифицируйте точку разрыва функции:
\[ y = \frac{\sin 2x}{2x} \]Решение:
1. Нахождение точек разрыва:
Функция \(y = \frac{\sin 2x}{2x}\) является дробью. Точки разрыва могут возникнуть там, где знаменатель равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю:
\[ 2x = 0 \] \[ x = 0 \]Таким образом, точка \(x=0\) является точкой разрыва.
2. Классификация точки разрыва:
Для классификации точки разрыва нужно найти предел функции при \(x\), стремящемся к этой точке.
Вычислим предел функции при \(x \to 0\):
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \]Это известный первый замечательный предел, который гласит, что \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\). В нашем случае, если мы сделаем замену \(t = 2x\), то при \(x \to 0\), \(t\) также стремится к \(0\).
Следовательно:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \]3. Вывод:
Поскольку предел функции в точке разрыва \(x=0\) существует и равен конечному числу (в данном случае 1), но сама функция в этой точке не определена (так как знаменатель равен нулю), то эта точка разрыва является устранимой точкой разрыва.
Такой разрыв можно "устранить", доопределив функцию в точке \(x=0\) значением предела. То есть, если мы определим новую функцию \(f(x)\) следующим образом:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{\sin 2x}{2x}, & \text{если } x \neq 0 \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases} \]то эта новая функция будет непрерывной в точке \(x=0\).
Ответ:
Устранимая точка разрыва